¿Cuál es la relación entre el SDF del modelo Black-Scholes-Merton y el proceso exponencial del teorema de Girsanov?

Question

Pregunta

He estado jugando para entender cómo es el factor de descuento estocástico en Black-Scholes-Merton y cómo se relaciona con el proceso exponencial en el teorema de Girsanov. Encuentro que el factor de descuento estocástico es el proceso exponencial del Teorema de Girsanov descontado a la tasa libre de riesgo, es decir, escala el proceso exponencial de Girsanov en $\exp(-rt)$ .

¿Alguien tiene una intuición sobre esto? Quiero decir, las matemáticas deberían estar bien, pero no estoy seguro de si hay un significado más profundo en juego. De todos modos, he esbozado mi trabajo a continuación.

Boceto de la obra

Llamemos a $S_t$ el precio de una acción, $B_t$ el precio de un bono sin riesgo y $M_t$ el factor de descuento estocástico. Tenemos la siguiente dinámica: \begin{align} \frac{dS_t}{S_t} &= \mu dt + \sigma dZ_t \\ \frac{dB_t}{B_t} &= r dt \end{align} con $(Z_t)_{t \geq 0}$ un movimiento browniano estándar. Si aplicamos el teorema de Girsanov, obtenemos un proceso de la siguiente forma para el cambio de medida: \begin{align} A_t &= \exp \left( -\int_0^t \eta_s dZ_s - \frac{1}{2}\int_0^t \eta_s^2 ds \right) \\ \forall t \; \eta_t = \eta \Rightarrow A_t &= \exp \left( -\eta Z_t - \frac{1}{2}\eta^2 t \right) \\ \Rightarrow dln A_t = ln A_t - ln A_0 &= -\frac{1}{2}\eta^2dt -\eta dZ_t \\ \Rightarrow \frac{dA_t}{A_t} &= -\eta dZ_t. \end{align} Sin embargo, sé que $M_t B_t$ debe ser una martingala bajo la medida física, por lo que $M_t$ debe ser una difusión de la forma $\frac{dM_t}{M_t} = -rdt + \phi(.) dZ_t$ . Utilizando el hecho de que $M_t S_t$ también debe ser un matringale, obtenemos \begin{align} \frac{dM_tS_t}{M_tS_t} &= \frac{dS_t}{S_t} + \frac{dM_t}{M_t} + \frac{dS_t}{S_t}\frac{dM_t}{M_t}\\ &= \left(\mu dt + \sigma dZ_t \right) + \left(- r dt + \phi(.) dZ_t \right) + \left( \sigma \phi(.) dt \right) \\ \Rightarrow E^\mathbb{P} \left( \frac{dM_tS_t}{M_tS_t} \right) &= \left( \mu - r + \sigma \phi(.) \right)dt = 0 \\ \Leftrightarrow \mu - r + \sigma \phi(.) &= 0 \Leftrightarrow \phi(.) = - \frac{\mu -r}{\sigma}. \end{align} En este modelo, si trabajamos un poco, podríamos demostrar que $\eta = \frac{\mu - r}{\sigma}$ Por lo tanto \begin{align} \frac{dM_t}{M_t} &= -rdt + \frac{dA_t}{A_t} = -rdt - \eta dZ_t \\ \Rightarrow M_t &= M_0 \exp \left( -\int_0^t \eta dZ_s - \frac{1}{2} \int_0^t \eta^2 ds -rt \right) \\ &= M_0 A_t \exp(-rt). \end{align} Por lo tanto, el factor de descuento estocástico no es más que una versión escalada de $A_t$ aquí: $M_t/M_0 = \exp(-rt) A_t/A_0$ .

Answer 1

Intuición

El factor de descuento estocástico (FDE) tiene realmente dos funciones: debe incorporar el valor temporal del dinero (descuento) y tener en cuenta el riesgo de los flujos de caja (estocástico). Por tanto, puede tener sentido dividir el FAD en sus dos componentes, $$M_t=e^{-rt}A_t,$$ donde $A_t$ hace la compensación del riesgo. El teorema de Girsanov se refiere a $A_t$ sólo.

La técnica del cambio de medida (teorema de Girsanov) relaciona la martingala sin rumbo $A_t$ a una derivada de Radon-Nikodym, $A_T=\frac{\text{d}\mathbb Q}{\text d\mathbb P}$ . Pero como el SDF no es una martingala, el factor de descuento determinista $e^{rt}$ corrige esencialmente esa deriva.

El economista financiero desilusionado puede decir simplemente que $e^{-rt}$ es sólo un término de corrección con el que tenemos que juguetear todo el tiempo. Por ejemplo, recordemos la fórmula de Breeden y Litzenberg (1978), $$f_{S_t}(x)=e^{rT}\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}\bigg|_{K=x}.$$ Simplemente necesitamos un lugar $e^{rT}$ para garantizar que la deriva neutra de riesgo de $S_t$ es $S_0e^{rt}$ .

Teorema de Girsanov y Black Scholes

Tras Björk , vamos a $\varphi$ sea el núcleo (constante) de Girsanov y se establezca $\text{d}A_t=\varphi A_t\text{d}W_t^\mathbb P$ con $A_0=1$ . Claramente, $A_t$ es un $\mathbb P$ -martingale con $\mathbb{E}^\mathbb P[A_t]=1$ . Girsanov nos dice que cuando ponemos $\frac{\text d\mathbb Q}{\text d\mathbb P}=A_T$ entonces $W_t^\mathbb Q=W_t^\mathbb P-\varphi t$ .

En el mundo de Black-Scholes, $\text{d}S_t=\mu S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb P$ . Utilizando el núcleo de Girsanov, obtenemos $\text{d}S_t=(\mu+\sigma\varphi) S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb Q$ . Esto sugiere que el ratio de Sharpe (negativo) (también conocido como precio de mercado del riesgo) $\varphi=-\frac{\mu-r}{\sigma}$ sería una idea decente, es decir $\text{d}S_t=rS_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb Q$ .

Enlaces a los precios de los activos

Como tú dices, $S_tM_t$ es un $\mathbb P$ -martingale, es decir $$S_t=\mathbb{E}_t^\mathbb P\left[\frac{M_T}{M_t}S_T\right],$$ que se parece a nuestra querida ecuación de Euler. Ahora, con nuestra descomposición de $M_t=e^{-rt}A_t,$ obtenemos

$$S_t= \mathbb{E}_t^\mathbb P\left[\frac{M_T}{M_t}S_T\right]= e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb P\left[\frac{A_T}{A_t}S_T\right]=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb Q\left[S_T\right].$$

Porque $\mathbb{E}^\mathbb P[A_t]=1$ obtenemos de $M_t=e^{-rt}A_t$ que $$e^{rt}=\frac{1}{\mathbb{E}^\mathbb P[M_t]},$$ que nos recuerda a $R_f=\frac{1}{\mathbb{E}[m]}$ en tiempo discreto.

Tenga en cuenta que, en este mundo de Black-Scholes, todo se distribuye de forma log-normal: $S_t$ , $M_t$ , $A_t$ , $M_tS_t$ , ...