Encontrar una estimación GMM consistente pero ineficiente

Question

Considere el siguiente modelo lineal

$$y_t = x_t' \beta +u_t$$

donde $t =1,...,T$ y $x_t = (x_{1t} x_{2t} ... x_{kt})'$ , $\beta$ es $k \times 1$ vector de coeficientes desconocidos, $u_t$ es un término de perturbación iid con la varianza $\sigma^2$ y $E(x_tu_t)=0$ para todo t.

Encuentre el estimador GMM consistente pero ineficiente.

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Mi solución:

Sé que $E(x_tu_t)= \frac{1}{T} \sum^T_{t=1} [x_t(y_t-x_t'\beta)]=0$

Definir la matriz jacobiana

$$J(B)= g(B)' W g(B)$$

donde $g(B)=\frac{1}{T} \sum^T_{t=1} [x_t(y_t-x_t'\beta)]$ y $W=I_k$

Aquí, defino W como una matriz de identidad, porque la eficiencia depende de la matriz W y cuando W=I, supongo que este estimador se vuelve ineficiente . (Tal vez sea un error, no lo sé exactamente)

Entonces, la matriz jacobea $J(B)$ en forma de matriz se escribe como

$$J(B)=[\frac{1}{T} X'(y-X\beta]' I_k [\frac{1}{T} X'(y-X\beta]$$

Minimicemos J(B) con respecto a $\beta$

Eso es, $\partial J(B) / \partial \beta =0$

Entonces, $$\hat{\beta} = (X'XX'X)^{-1} X'XX'y$$

Este resultado me parece extraño.

¿Cómo se resuelve esta cuestión? ¿En qué me equivoco? Por favor, comparte tus ideas conmigo.

Answer 1

1. No pretendo ser quisquilloso, pero por si acaso, no existe el estimador consistente pero ineficiente. Tal vez se refiera a a ¿Estimador consistente pero ineficiente?

2. Su estimador es el estimador OLS. Véase $X'X$ cancelado.

3. Si sólo utiliza las condiciones del momento $E(x_t u_t)=0$ entonces OLS es el único estimador GMM (o realmente MM) que puede seguir. Como las condiciones de momento se identifican exactamente, no hay otros estimadores GMM. El estimador MCO es eficiente si el término de error es gaussiano (en cuyo caso MCO = MLE). En caso contrario, el estimador MCO es ineficiente.

4. Si usted es permitido para cambiar las condiciones del momento a algo como $E(A_t x_t u_t)=0$ para algunos no aleatorios y no singulares $A_t$ , entonces puede tener otros estimadores eligiendo $A_t$ de manera ineficiente. (Un ejemplo es el WLS con ponderaciones erróneas: $A_t = tI$ .) Pero solemos considerar $E(A_t x_t u_t)=0$ como condiciones de momento diferentes de $E(x_t u_t)=0$ aunque una implica a la otra, y viceversa.

5. Es realmente una cuestión de definiciones. ¿Qué quiere decir con ineficiente ? ¿Significa esto una ineficiencia asintótica? Tenga en cuenta que el estimador OLS es ineficiente a menos que la distribución del error sea gaussiana aunque sea azul. Además, ¿puede utilizar las condiciones de momento implícitas en $E(x_t u_t)=0$ no sólo $E(x_t u_t)=0$ . Se requiere una aclaración.

Tal vez sólo se trate del estimador MCO, que es ineficiente en las condiciones dadas (es decir, sin normalidad). Sin embargo, el estimador OLS es asintóticamente eficiente.