Linealidad en la fijación de precios y dualidad, UMP EMP

Question

He leído la declaración que aparece a continuación y no entiendo muy bien lo que significa. Esto es probablemente porque no tengo plena comprensión de la dualidad con la función de apoyo en las matemáticas, pero sólo para fomentar la comprensión ... El enunciado es:

"El problema de maximización de la utilidad (PMU) tiene un objetivo de utilidad no lineal y una restricción de precio lineal. El problema de minimización del gasto es exactamente al revés: un objetivo de precio lineal y una restricción de utilidad no lineal. Este es el núcleo de la idea del significado de lo dual: refundir el problema con el objetivo como restricción y la restricción como objetivo. Una observación importante es la linealidad de los precios en ellos. Esta linealidad, ya sea en el objetivo o en la restricción, es la piedra angular que nos permite utilizar el teorema de la dualidad".

Answer 1

Denote un conjunto de bienes $\mathbf{x}=(x_1,...,x_n)$ y un vector de precios $\mathbf{p}=(p_1,...,p_n)$ . El coste de cualquier paquete es el producto escalar $\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}$ .

Consideremos en primer lugar la UMP, que consiste en encontrar el paquete $\mathbf{x}$ que maximiza la utilidad $u(\mathbf{x})$ sujeta a la restricción presupuestaria de que el paquete de bienes cueste menos que una renta $R$ : $$\underset{\mathbf{x}}{\max}u(\mathbf{x}) \text{ s.t. } \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq R.$$

Consideremos ahora la PEM, que consiste en encontrar el haz $\mathbf{x}$ que minimice los gastos $\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}$ a condición de alcanzar un nivel mínimo de utilidad $\underline{u}$ : $$\underset{\mathbf{x}}{\min}\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} \text{ s.t. } u(\mathbf{x})\geq \underline{u}.$$

Estos problemas son duales en el sentido de que se puede relacionar la solución del primero con la del segundo. La solución de la UMP te da las exigencias marshallianas, $\mathbf{x}^M(\mathbf{p},R)$ como función de los precios y la renta. La solución de la AEM le da las demandas hicksianas, $\mathbf{x}^H(\mathbf{p},\underline{u})$ como la función de los precios y el nivel mínimo de utilidad. El vínculo entre estas dos funciones está muy estudiado en microeconomía, es rico en muchas intuiciones económicas y relaciones matemáticas útiles.

La dualidad permite encontrar una solución una vez que se conoce la otra. Por ejemplo, supongamos que conocemos la función $\mathbf{x}^M(\mathbf{p},R)$ pero no conocemos la función $\mathbf{x}^H(\mathbf{p},\underline{u})$ ¿Cómo podemos encontrar $\mathbf{x}^H(\mathbf{p},\underline{u})$ ? Primero, denotemos la utilidad indirecta del primer problema por $v(\mathbf{p},R)=u(\mathbf{x}^M(\mathbf{p},R))$ . En segundo lugar, defina los ingresos $\underline{R}$ como la solución de $v(\mathbf{p},\underline{R})=\underline{u}$ (la existencia de $\underline{R}$ proviene de la propiedad de linealidad que se destaca en la última sención de la cita). $\underline{R}$ es la cantidad mínima que se necesita para conseguir la utilidad $\underline{u}$ . No voy a mostrar, pero se puede entender intuitivamente que tenemos: $$\mathbf{x}^H(\mathbf{p},\underline{u})=\mathbf{x}^M(\mathbf{p},\underline{R})$$

Por último, hay que tener en cuenta que debemos escribir $\underline{R}$ en función de $\mathbf{p}$ y $\underline{u}$ para ser riguroso.

Answer 2

Consideremos el problema estándar de maximización de la utilidad:

$$\begin{align}\max_{\vec x} & \quad U(\vec x) \\ & \quad \vec p \cdot \vec x \leq Y \end{align}$$

En este caso, la utilidad es la función objetivo y la desigualdad de precios es la restricción. El paquete óptimo se resuelve mediante un lagrangiano.

Consideremos ahora su doble problema.

$$\begin{align}\min_{\vec x} & \quad p \cdot \vec x \\ & \quad U(\vec x) \geq \bar U \end{align}$$

Ahora la función objetivo es el gasto, y una utilidad mínima deseada es la restricción.

La utilidad que se obtiene de la solución de maximización, si se establece que sea $\bar U$ entonces el haz de soluciones al problema de minimización será el mismo. Esto es así si se resuelve primero el paquete del problema de minimización.

De este resultado (que puedes comprobar por ti mismo) surge finalmente la siempre útil identidad de Roy.

$${x^m_i}^* = - \frac{\frac{\partial V}{\partial p_i}}{\frac{\partial V}{\partial Y}}$$

Dónde $V(\vec p,Y)$ es la función de utilidad indirecta.

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Si tienes dudas sobre el significado de la función de apoyo, recuerda su definición. (Utilizaré la de Mas-Colell)

Para cualquier conjunto cerrado no vacío $K \subset \mathbb{R}^L$ la función de soporte de $K$ se define para cualquier $\vec p \in \mathbb{R}^L$ para ser $$\mu_k(\vec p) = \inf \{\vec p \cdot \vec x: \quad \vec x \in K \}$$

que no es más que una descripción del valor mínimo de un conjunto. ¿Qué aspecto tiene el conjunto (familiar) aquí?

Answer 3

La idea es bastante sencilla, puedes

1. maximizar su utilidad, dada una restricción presupuestaria
2. quiere alcanzar un determinado objetivo de utilidad y quiere minimizar su gasto

Ahora resuelve el problema de maximización en 1, obtendrás la máxima utilidad que puedes obtener. Ahora que has obtenido este número, puedes utilizarlo como objetivo en el problema de minimización y descubrirás (no es sorprendente) que el gasto mínimo necesario es el mismo que el ingreso que tienes en el problema de maximización.

En términos más sencillos, estos dos problemas son equivalentes/duales.