La mejor manera de hacerlo es examinar la tasa marginal de sustitución.
Toma $$ x^\alpha y^\beta = C $$ y utilizar el teorema de la función implícita para obtener la pendiente de la curva de indiferencia: $$ x^\alpha y(x)^\beta = C $$ $$ \alpha x^{\alpha-1} y(x)^{\beta} + x^\alpha \beta y(x)^{\beta-1} y'(x) = 0 $$ $$ MRS(x) = y'(x) = -\dfrac{\alpha y(x)}{\beta x} = -\dfrac{y}{4x}. $$ Esto da la tasa a la que el consumidor está dispuesto a renunciar $x$ para $y$ y permanecer en la misma curva de indiferencia. En palabras, "Si el consumidor tiene actualmente el paquete $(3,4)$ está dispuesto a renunciar $4/12$ de una unidad del $x$ bueno para un poco de la $y$ bueno".
Es posible que le preocupe que el MRS no capture completamente la función de utilidad Cobb-Douglas, pero puede recuperar las preferencias Cobb-Douglas "resolviendo" la ecuación diferencial $y'(x) = -\alpha y(x)/\beta x$ ya que se puede reescribir $$ \dfrac{y'(x)}{y(x)} = - \dfrac{\alpha}{\beta x} $$ y el lado izquierdo es la derivada de $\log(y(x))$ y el lado derecho es la derivada de $\log(x)$ , lo que implica que $$ \log(y(x)) = - \dfrac{\alpha}{\beta}\log(x) + v $$ para que $$ \log(y(x)^\beta x^\alpha) = v $$ y $$ y^\beta x^\alpha = e^v = u(x,y) $$ para que el MRS caracterice completamente la función de utilidad Cobb-Douglas.
