Maximización de los ingresos

Question

Tenemos dos empresas con idéntica estructura de costes que compiten en un mercado

Función de demanda = $p=a-bq$

Y $q=q_1+q_2$

Son idénticos en todos los sentidos. Sin embargo, la empresa 1 maximiza los beneficios y la empresa 2 maximiza los ingresos siempre que los accionistas estén satisfechos, lo que consigue manteniendo los beneficios no negativos.

Ambas empresas tienen un coste marginal constante e igual c. Así que quiero encontrar las cantidades que elegirán.

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Lo que hice es...

Para la empresa 1,

$$\pi_1=max[(a-b(q_1+q_2))q_1-cq_1]$$

Los BDC para $q_1$

$$a-2bq_1-bq_2-c=0$$

Así que $$q_1={a-bq_2-c\over 2b}$$

Para la empresa 2,

$$max [(a-b(q_1+q_2))q_2]$$

FOCs $$a-bq_1-2bq_2=0$$

$$q_2={a-bq_1\over 2b}$$

Así que, $$q_1={a-b({a-bq_1\over 2b})-c\over 2b}$$

$$q_1^*={a-2c\over 3b}$$

Y $$q^*_2={5a+2b\over 6b}$$

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La pregunta dice que "*la empresa 1 maximiza el beneficio y la empresa 2 maximiza los ingresos siempre que los accionistas estén satisfechos, lo que consigue manteniendo los beneficios no negativos.*"

Debido a esta frase, no estoy seguro de mi solución. Especialmente para la firma 2.

Estoy confundido en este punto. Por favor, dígame mis errores. Gracias.

Answer 1

El objetivo de la empresa 1 es maximizar los beneficios: $$\max_{q_1\geq 0} \ \ \left(a - b(q_1+q_2)\right)q_1 - cq_1$$

Resolviendo el problema anterior, obtenemos la mejor función de respuesta de la empresa 1 como $$q_1 = \dfrac{a - c - bq_2}{2b}$$

El objetivo de la empresa 2 es maximizar los ingresos con la condición de que sus beneficios no sean negativos: $$\max_{q_2\geq 0} \ \ \left(a - b(q_1+q_2)\right)q_2$$ $$\text{s.t. }\left(a - b(q_1+q_2)\right)q_2 - cq_2 \geq 0$$

Resolviendo el problema anterior, obtenemos la mejor función de respuesta de la empresa 2 como \begin{eqnarray*} q_2 =\begin{cases} \dfrac{a - bq_1}{2b} & \text{if } a - bq_1 \geq 2c \\ \dfrac{a - c - bq_1}{b} & \text{if } a - bq_1 < 2c \end{cases}\end{eqnarray*}

Resolver las funciones de mejor respuesta para $q_1$ y $q_2$ produce \begin{eqnarray*} (q_1^*, q_2^*) = \begin{cases} \left(\dfrac{a-2c}{3b}, \dfrac{a+c}{3b}\right) & \text{if } a \geq 2c\\ \left( 0, \dfrac{a-c}{b}\right) & \text{if } a < 2c \end{cases} \end{eqnarray*}