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Negociable => ¿Satisface la ecuación de precios?

En el tercer volumen de Wilmott, en la página 857, intenta dar una idea del precio de mercado del riesgo mostrando cuál es para los activos negociados. Para ello, construye una cartera de dos opciones diferentes: una opción larga por valor de V y corto Δ unidades de otra opción por valor de V1 dando un valor de cartera de Π=VΔV1. Siguiendo la derivación que dio anteriormente para la volatilidad estocástica, da la EDP Vt+12σ2S22VS2+(μλSσ)SVSrV=0. Hasta ahora, todo va bien. Pero luego afirma,

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Mis preguntas:

  1. ¿Por qué el hecho de que las acciones sean negociables significa que su precio debe satisfacer esta EDP?

  2. Suponiendo que V=S es una solución de la EDP, donde el St ¿Ir? ¿Es que, por S se refiere realmente a la inicial precio de las acciones, es decir, S=S(0) ? Entonces tendríamos la derivada del tiempo desapareciendo.

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Miha Puntos 1

Vt es el precio de un bien comercial. Porque podemos hacer una cobertura delta, Vt=v(t,St) donde v es una solución de la EDP en algún dominio cuya frontera corresponde al ejercicio de la opción. Para una opción europea con pago g(ST) en el momento T la función de precios v es la solución vt+12σ2S22vS2+(μλSσ)SvSrv=0. en [0,T]×R+ con límite v(T,S)=g(S) Consideremos el caso especial de un derivado que entrega la acción en el momento T : g(S)=S . Obviamente se puede replicar esto comprando las acciones en el momento 0 y manteniéndolo hasta que T por lo que el precio es Vt=St . La función de precios correspondiente es, pues, la siguiente v(t,S)=S . Su derivada parcial con respecto a t es 0 (sin Theta), su derivada parcial con respecto a la variable S (Delta) es 1 y su segunda derivada parcial con respecto a la variable S (Gamma) es 0. Como es el precio de una opción europea, satisface la EDP que se reduce a
(μλSσ)SrS=0. Esto permite deducir el precio de mercado del riesgo.

Nota: Creo que para evitar confusiones hay que distinguir entre la derivada parcial y la total.

El valor de una cartera es estocástico. Su "derivada total" es una notación formal dVt=μVtdt+σVtdWt para una integral de Ito. Intuitivamente, esto es su P&L durante un pequeño período de tiempo [t,t+dt] .

Por otro lado, la función de precios v(t,S) es determinista. Su derivada parcial son los griegos: Θ=tv , Δ=Sv , Γ=2Sv . Aquí S no es más que una letra para identificar la segunda variable de v . Podríamos escribir 2v igual de bien.

Ambos están relacionados cuando se introduce el proceso estocástico de precios en la función de precios: Vt=v(t,St) Y el lema de Ito te dice cómo calcular la "derivada total" en términos de las derivadas parciales de v : dVt=tv(t,St)dt+Sv(t,St)dSt+122Sv(t,St)dS,St lo que conduce a la PDE BS.

En el caso v(t,S)=S claramente la derivada parcial es tv(t,S)=0 para todos (t,S)[0,T]×R+ pero la derivada total dv(t,St)=dSt=μStdt+σStdWt corresponde a un proceso estocástico no constante.

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