Negociable => ¿Satisface la ecuación de precios?

Question

En el tercer volumen de Wilmott, en la página 857, intenta dar una idea del precio de mercado del riesgo mostrando cuál es para los activos negociados. Para ello, construye una cartera de dos opciones diferentes: una opción larga por valor de $V$ y corto $\Delta$ unidades de otra opción por valor de $V_1$ dando un valor de cartera de $$\Pi = V - \Delta V_1.$$ Siguiendo la derivación que dio anteriormente para la volatilidad estocástica, da la EDP $$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (\mu - \lambda_S \sigma)S\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0.$$ Hasta ahora, todo va bien. Pero luego afirma,

Mis preguntas:

1. ¿Por qué el hecho de que las acciones sean negociables significa que su precio debe satisfacer esta EDP?

2. Suponiendo que $V=S$ es una solución de la EDP, donde el $\frac{\partial S}{\partial t}$ ¿Ir? ¿Es que, por $S$ se refiere realmente a la inicial precio de las acciones, es decir, $S = S(0)$ ? Entonces tendríamos la derivada del tiempo desapareciendo.

Answer 1

$V_t$ es el precio de un bien comercial. Porque podemos hacer una cobertura delta, $V_t =v(t,S_t)$ donde $v$ es una solución de la EDP en algún dominio cuya frontera corresponde al ejercicio de la opción. Para una opción europea con pago $g(S_T)$ en el momento $T$ la función de precios $v$ es la solución $$\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 v}{\partial S^2} + (\mu - \lambda_S \sigma)S\frac{\partial v}{\partial S} - rv = 0.$$ en $[0,T] \times \mathbb{R}^*_+$ con límite $$v(T,S) = g(S)$$ Consideremos el caso especial de un derivado que entrega la acción en el momento $T$ : $g(S) = S$ . Obviamente se puede replicar esto comprando las acciones en el momento $0$ y manteniéndolo hasta que $T$ por lo que el precio es $V_t = S_t$ . La función de precios correspondiente es, pues, la siguiente $v(t,S) = S$ . Su derivada parcial con respecto a $t$ es $0$ (sin Theta), su derivada parcial con respecto a la variable $S$ (Delta) es $1$ y su segunda derivada parcial con respecto a la variable $S$ (Gamma) es 0. Como es el precio de una opción europea, satisface la EDP que se reduce a
$$(\mu - \lambda_S \sigma)S - rS = 0.$$ Esto permite deducir el precio de mercado del riesgo.

Nota: Creo que para evitar confusiones hay que distinguir entre la derivada parcial y la total.

El valor de una cartera es estocástico. Su "derivada total" es una notación formal $$dV_t = \mu^V_t dt + \sigma^V_t dW_t$$ para una integral de Ito. Intuitivamente, esto es su P&L durante un pequeño período de tiempo $[t,t+dt]$ .

Por otro lado, la función de precios $v(t,S)$ es determinista. Su derivada parcial son los griegos: $\Theta = \partial_t v$ , $\Delta = \partial_S v$ , $\Gamma = \partial^2_S v$ . Aquí $S$ no es más que una letra para identificar la segunda variable de $v$ . Podríamos escribir $\partial_2 v$ igual de bien.

Ambos están relacionados cuando se introduce el proceso estocástico de precios en la función de precios: $$V_t = v(t,S_t)$$ Y el lema de Ito te dice cómo calcular la "derivada total" en términos de las derivadas parciales de $v$ : $$dV_t = \partial_tv(t,S_t) dt + \partial_Sv(t,S_t) dS_t + \frac{1}{2}\partial^2_Sv(t,S_t) d\langle S,S\rangle_t$$ lo que conduce a la PDE BS.

En el caso $v(t,S) = S$ claramente la derivada parcial es $\partial_t v(t,S) = 0$ para todos $(t,S) \in [0,T]\times \mathbb{R}^*_+$ pero la derivada total $dv(t,S_t) = dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$ corresponde a un proceso estocástico no constante.