Medición de rendimientos

Question

Siempre me encuentro con el problema de qué tipo de retorno usar. Hay tres tipos que conozco. El retorno simple, el retorno logarítmico y el retorno geométrico.

Ahora me pregunto si depende del tema qué tipo de retorno usar. Por ejemplo, para calcular el retorno diario promedio de una cartera y luego anualizar ese retorno diario promedio, no debería hacer diferencia ya que para retornos pequeños el retorno logarítmico es aproximadamente igual al retorno simple.

Sin embargo, en algunos días tienes retornos más altos como del 5% o más, lo que es un retorno logarítmico del 4.88%, lo cual es una diferencia significativa. Entonces, si la serie tiene retornos diarios del 5%, ¿sigue siendo legítimo usar el retorno logarítmico? El problema aquí es que el retorno logarítmico subestima los retornos positivos, pero estima correctamente los retornos promedio. Por ejemplo. Supongamos que el precio de una acción cotiza de 100 a 105 y luego vuelve a 100. El retorno durante todo el período es del 0%. Sin embargo, el retorno simple promedio no es del 0%. Los retornos geométricos y logarítmicos son del 0%, lo cual es correcto en mi opinión.

Así que al anualizar el retorno diario, siempre obtengo retornos más altos de lo esperado.

Luego, al informar el retorno anualizado, ¿debería el retorno promedio ser revertido al retorno simple a través de la función exp()? Cuando hago esto, ¿puedo también revertir la desviación estándar con la función exp()?

Entonces no he tenido ninguna buena solución para lo siguiente: Quiero crear una cartera y medir los retornos diariamente. Mi enfoque fue tomar el retorno logarítmico de, digamos, 2 acciones, y ponderar cada una con un 50% y sumarlas cada día. Luego calculo la media y la desviación estándar en un cierto período de tiempo. Intuitivamente, parece incorrecto sumar retornos transformados en una cartera. Lo hice, porque no tengo idea de cómo crear los retornos adecuados de una cartera.

Quizás alguien pueda ayudarme.

Answer 1

No tienes que pensar demasiado en fórmulas de retorno y confundirte, solo ve a lo básico. El retorno es simplemente:

$$ Return = Valor Final / Valor Inicial - 1 $$

Los retornos logarítmicos se utilizan en lugares donde proporciona simplicidad en el modelo al definir los retornos en un formato logarítmico. También cuando se hacen suposiciones sobre la log-normalidad en lugar de la normalidad. Los retornos logarítmicos se popularizaron para modelos utilizados en relación con la modelización de derivados.

$ log(1+r) \approx r $ es verdadero cuando $r$ es pequeño, que suele ser el caso, pero considera el caso de los retornos mensuales, recientemente en diciembre de 2018, el S&P cayó un 9%. Ahora $r$ ya no es pequeño.

Si calculas los retornos logarítmicos para S&P TRI desde 2000 hasta hoy, ¡subestimará los retornos acumulados en más del 5%!

En cuanto a la desviación estándar, idealmente no debería importar demasiado a menos que estés midiendo la desviación estándar durante un período muy corto.

En cuanto a los retornos de la cartera, la mejor práctica es calcular el valor diario de la cartera como un promedio ponderado de los valores de las acciones y luego calcular el retorno en la serie de la cartera en sí misma.

Quédate con lo básico.

Answer 2

Dado que la discusión anterior no parece tener fin, voy a mostrar un resumen de mis suposiciones. Si no estás de acuerdo, házmelo saber exactamente en qué punto no estás de acuerdo.

1) El retorno

i) el retorno anual simple de un periodo de 1 año es: $$ r_{1989}=valor_{1989}/valor_{1988}-1 $$ para $$ valor_{1988}=100, valor_{1989}=110, valor_{1990}=100 $$ obtenemos $$ r_{1989}=10\%, r_{1990}=-9,1\% $$

ii) el retorno anual simple de un periodo de 2 años es $$ r^2_{1990}=valor_{1990}/valor_{1988}-1=0\% $$

iii) la media de la muestra de retornos es $$ r_{media}=(r_{1989}+r_{1990})/2 = 0,45\% $$

iv) para calcular el valor final usamos la media y la elevamos a la potencia del número de periodos (2 en este caso) $$ valorfinal = (r_{media}+1)^2*valorinicial=100,09 $$

Pero este no es nuestro valor final. Podríamos fácilmente emplear este método para retornos diarios, calcular la media de los retornos diarios y anualizarlos. Podríamos tomar los retornos diarios y el número de periodos requerido para obtener el valor final de ese periodo de 2 años. Sin embargo, para obtener un valor anualizado real simplemente tomamos la media de los retornos diarios y lo elevamos a la potencia de un año (anualizando). Sin embargo, este procedimiento seguirá sobreestimando el verdadero valor final. Como mostré anteriormente, sobreestimará el valor final en gran medida.

v) el retorno logarítmico se calcula para un periodo de 1 año como: $$ logr_{1989}=ln(valor_{1989}/valor_{1988}) $$

para un periodo de dos años

$$ logr_{1990}=ln(valor_{1990}/valor_{1988}) = ln(valor_{1989}/valor_{1988})+ln(valor_{1990}/valor_{1989}) $$

y la media

$$ logr_{media} = logr_{1990}/2 $$

en este ejemplo obtienes

$$ logr_{media}=(0,95-0,95)=0\% $$

que es el verdadero retorno de ese periodo.

Para pasar de un promedio anual a un valor final, se multiplica por el número de periodos (en este caso 2)

$$ valorfinal=(1+0\%*2)*valorinicial=100 $$

Ahora vemos que el método logarítmico lleva al valor final correcto. Sin embargo, para un periodo de un año muy específico, el retorno simple es el retorno más correcto a obtener. Para un periodo mayor a 1, para obtener un retorno anual, no puedes anualizar los retornos diarios simples, ya que el grado de sobreestimación es mucho peor. Si puedes demostrarme lo contrario, estaré encantado de saberlo. Sin embargo, la media anualizada de los logaritmos diarios subestima levemente el verdadero retorno con un tamaño de muestra mayor.

vi) Para obtener un retorno promedio anual de un caso de dos periodos haces esto:

$$ r_{media\ geométrico}=(valor_{1990}/valor_{1988})^{(1/2)}-1=(100/100)^{1/2}-1=0\% $$

2) la desviación estándar (de un año)

La desviación estándar es la desviación promedio en torno a la media. Media es la palabra clave: ¿En torno a qué media? Típicamente en torno a la media aritmética, no a la geométrica. Pero puedes mostrarme una fórmula de una desviación estándar geométrica si tienes una.

Ahora, he demostrado que la media del retorno simple conduce a un retorno anual muy incorrecto, al tomar el retorno diario y anualizarlo. Nuevamente, si usas un periodo de un año muy específico, el retorno simple es la elección más correcta. Si tienes más de un periodo y aún deseas la desviación estándar anual promedio, tu retorno promedio comparado será la media geométrica de vi) o el retorno logarítmico de v). Dado que la desviación estándar es la desviación promedio de la media aritmética (de una muestra (=aquí: de retornos diarios)), y dado que el retorno diario simple es incorrecto, solo veo un retorno que queda: ese es el retorno logarítmico. ¿Qué sentido tendría decir en la misma oración: "la media geométrica es del 10% y la desviación estándar de los retornos diarios logarítmicos es del 9% (mientras que la desviación estándar es la desviación promedio en torno a su media (la media de los retornos logarítmicos y no de la media geométrica))?" Se vuelve aún peor cuando informamos medidas como el ratio de Sharpe o el VaR que se calculan utilizando enfoques diferentes. Ahora, puedes usar seguramente la desviación estándar de los retornos diarios simples pero entonces también deberías informar la media anualizada de los retornos diarios. Y si no me crees, por favor inténtalo tú mismo: Usar retornos diarios simples e intentar llegar al valor final sobrestimará dramáticamente el verdadero retorno de un periodo completo.

3) reporte

Esto es lo que mi publicación inicial pretendía preguntar: ¿Podría ser que no sea tanto el retorno en sí lo que importe, sino más bien para qué propósito lo estamos usando? Para propósitos estadísticos como regresiones, t-estadísticas, anualización, métricas clave como el ratio de Sharpe, el retorno logarítmico me parece favorable. Para Ventas, definitivamente usaría el retorno simple.

observaciones finales

Como inversor privado que intenta optimizar su desempeño, trato de aplicar métodos cuidadosos que subestimen más bien el retorno y sobreestimen más bien el riesgo. Porque, si algo sale mal, todavía tendré un colchón. Y si nada sale mal, puedo obtener felizmente más retorno del que esperaba. He demostrado que el retorno simple no solo es incorrecto, sino aún más incorrecto que el retorno logarítmico, especialmente si se considera el riesgo de decisiones erróneas causadas por expectativas demasiado altas o carteras de riesgo-retorno equivocadas. Si no piensas que el retorno simple es más incorrecto que el retorno logarítmico, estoy completamente dispuesto a escuchar otras opiniones pero me gustaría tener alguna prueba de eso.