Medición de rendimientos

Question

Siempre me encuentro con el problema de qué retorno usar. Hay tres tipos que conozco. El retorno simple, el retorno logarítmico y el retorno geométrico.

Ahora me pregunto si depende del tema cuál retorno usar. Por ejemplo, para calcular el retorno diario promedio de una cartera y luego anualizar el retorno diario promedio, no debería hacer diferencia ya que para retornos pequeños el retorno logarítmico es aproximadamente igual al retorno simple.

Sin embargo, en algunos días tienes retornos más altos como del 5% o más, que es un retorno logarítmico del 4.88%, lo cual es una diferencia significativa. Entonces, si la serie tiene retornos diarios del 5%, ¿todavía es legítimo utilizar el retorno logarítmico? El problema aquí es que el retorno logarítmico subestima los retornos positivos, pero estima correctamente los retornos promedio. Por ejemplo. Supongamos que el precio de una acción se negocia de 100 a 105 y luego de regreso a 100. El retorno durante todo el período es del 0%. Sin embargo, el retorno simple promedio no es del 0%. Los retornos geométricos y logarítmicos dan 0%, lo cual es correcto en mi opinión.

Así que al anualizar el retorno diario, siempre obtengo retornos más altos de lo esperado.

Luego, al informar sobre el retorno anualizado, ¿debería el retorno promedio volver a transformarse en el retorno simple a través de la función exp()? Cuando hago esto, ¿puedo también transformar la desviación estándar nuevamentee con exp()?

Luego no he tenido ninguna buena solución para lo siguiente: Quiero crear una cartera y medir los retornos diariamente. Mi enfoque fue tomar el retorno logarítmico de, digamos, 2 acciones, y ponderar cada una con 50% y sumarlas cada día. Luego calculo la media y la desviación estándar durante un cierto tiempo. Intuitivamente, se siente mal sumar retornos transformados en una cartera. Hice esto, porque no tengo idea de cómo crear los retornos adecuados de una cartera.

Quizás alguien pueda ayudarme.

Answer 1

No es necesario pensar demasiado en las fórmulas de retorno y confundirse, simplemente vaya a lo básico. El retorno es simplemente:

$$ Retorno = Valor Final / Valor Inicial - 1 $$

Los retornos logarítmicos se utilizan en lugares donde proporciona simplicidad en el modelo para definir los retornos en un formato logarítmico. También cuando se hacen suposiciones sobre la log-normalidad en lugar de la normalidad. Los retornos logarítmicos se popularizaron en modelos utilizados en relación con la modelización de derivados.

$ log(1+r) \approx r $ es verdadero cuando $r$ es pequeño, que suele ser el caso, pero considere el caso de los retornos mensuales, recientemente en diciembre de 2018, el S&P cayó un 9%. Ahora $r$ ya no es pequeño.

Si calcula los retornos logarítmicos para S&P TRI desde el año 2000 hasta hoy, ¡estará subestimando los retornos acumulados en más del 5%!

En cuanto a la desviación estándar, idealmente no debería importar tanto a menos que esté midiendo la desviación estándar en un periodo muy corto.

En cuanto a los retornos de la cartera, la mejor práctica es calcular el valor diario de la cartera como un promedio ponderado de los valores de las acciones y luego calcular el retorno en la serie de la cartera en sí.

Manténgase en lo básico.

Answer 2

Dado que la discusión previa no llega a un final, voy a mostrar un resumen de mis suposiciones. Si no estás de acuerdo, házmelo saber exactamente dónde no estás de acuerdo.

1) El retorno

i) el retorno anual simple de un período de 1 año es: $$ r_{1989}=value_{1989}/value_{1988}-1 $$ para $$ value_{1988}=100, value_{1989}=110, value_{1990}=100 $$ obtenemos $$ r_{1989}=10\%, r_{1990}=-9,1\% $$

ii) el retorno anual simple de un período de 2 años es $$ r^2_{1990}=value_{1990}/value_{1988}-1=0\% $$

iii) la media de la muestra de retornos es $$ r_{mean}=(r_{1989}+r_{1990})/2 = 0.45\% $$

iv) Para calcular el valor final usamos la media y la elevamos al poder del número de períodos (2 en este caso) $$ endvalue = (r_{mean}+1)^2*startvalue=100.09 $$

Pero este no es nuestro valor final. Podríamos fácilmente emplear este método para retornos diarios, calcular la media de los retornos diarios y anualizarlos. Podríamos tomar los retornos diarios y el número de períodos requeridos para obtener el valor final de ese período de 2 años. Sin embargo, para obtener un valor anualizado real simplemente tomamos la media de los retornos diarios y la elevamos al poder de un año (anualización). Sin embargo, este procedimiento seguirá sobreestimando el verdadero valor final. Como mostré anteriormente, sobreestimará el valor final por mucho.

v) el retorno logarítmico se calcula para un período de 1 año como: $$ logr_{1989}ln(value_{1989}/value_{1988}) $$

para un período de dos años

$$ logr_{1990}=ln(value_{1990}/value_{1988}) = ln(value_{1989}/value_{1988})+ln(value_{1990}/value_{1989}) $$

y la media

$$ logr_{mean} = logr_{1990}/2 $$

en este ejemplo obtienes

$$ logr_{mean}=(0.95-0.95)=0\% $$

que es el verdadero retorno de ese período.

Para pasar de un promedio anual al valor final, multiplicas por el número de períodos (en este caso 2)

$$ endvalue=(1+0\%*2)*startvalue=100 $$

Ahora vemos que el método logarítmico conduce al valor final correcto. Sin embargo, para un período de un año muy específico, el retorno simple es el retorno más correcto para obtener. Para un período mayor a 1, para obtener un retorno anual, no puedes anualizar los retornos diarios simples, ya que el grado de sobreestimación es mucho peor. Si puedes demostrarme lo contrario, me alegrará saberlo. Sin embargo, la media anualizada de los retornos diarios logarítmicos subestima ligeramente el verdadero retorno con un mayor tamaño de la muestra

vi) Para obtener un retorno promedio anual a partir de un caso de dos períodos haces esto:

$$ r_{geometric\ mean}=(value_{1990}/value_{1988})^{(1/2)}-1=(100/100)^{1/2}-1=0\% $$

2) la desviación estándar (de un año)

La desviación estándar es la desviación promedio alrededor de la media. Media es la palabra clave: ¿Alrededor de cuál media? Típicamente alrededor de la media aritmética, no de la media geométrica. Pero puedes mostrarme una fórmula de desviación estándar geométrica si tienes una.

Ahora, he demostrado que la media del retorno simple conduce a un retorno anual muy incorrecto, al tomar el retorno diario y anualizarlo. Nuevamente, si usas un período de un año muy específico, el retorno simple es la opción más correcta. Si tienes más de un período y aún deseas la desviación estándar anual promedio, tu retorno promedio comparado será la media geométrica del punto vi) o el retorno logarítmico del punto v). Dado que la desviación estándar es la desviación promedio de la media aritmética (de una muestra (=aquí: de los retornos diarios)), y dado que el retornos diario simple es incorrecto, solo veo un retorno que queda: ese es el retorno logarítmico. ¿Qué sentido tendría decir en la misma oración: "la media geométrica es del 10% y la desviación estándar de los retornos diarios logarítmicos es del 9% (mientras que la desviación estándar es la desviación promedio alrededor de su media (la media de los retornos logarítmicos y no de la media geométrica))?" Se vuelve aún peor cuando informamos medidas como el ratio de Sharpe o el VaR que se calculan utilizando enfoques diferentes. Ahora, seguramente puedes usar la desviación estándar de los retornos diarios simples pero entonces también debes informar la media anualizada de los retornos diarios. Y si no me crees, por favor inténtalo tú mismo: Usar retornos diarios simples e intentar llegar al valor final sobreestimará dramáticamente el verdadero retorno de un período completo.

3) reporte

Esto es lo que mi publicación inicial intentó preguntar: ¿Podría ser que no el retorno en sí mismo sea tan importante, sino más bien para qué propósito lo estamos utilizando? Para fines estadísticos como regresiones, t-estadísticas, anualización, métricas clave como el ratio de Sharpe, el retorno logarítmico me parece favorable. Para Ventas, definitivamente usaría el retorno simple.

observaciones finales

Como inversor privado que intenta optimizar su rendimiento, estoy tratando de aplicar métodos cuidadosos que subestimen más el retorno y sobreestimen más el riesgo. Porque, si algo sale mal, aún tendré un colchón. Y si nada sale mal, puedo obtener más rendimiento de lo que esperaba. He demostrado que el retorno simple no solo es incorrecto, sino aún más incorrecto que el retorno logarítmico, especialmente si se considera el riesgo de decisiones incorrectas causadas por expectativas demasiado altas o carteras de riesgo-recompensa incorrectas. Si no crees que el retorno simple sea más incorrecto que el retorno logarítmico, estoy completamente dispuesto a escuchar otras opiniones, pero me gustaría tener pruebas de eso.