¿Por qué se utiliza aquí el teorema de Girsanov?

Question

Está escrito en ArbitrageTheoryInContinuousTime de Bjork que

... Supongamos que existe una medida martingala Q. Esto implica (véase el teorema de Girsanov) que los procesos de precios tienen una deriva nula bajo $Q$ ...

Está escrito en la tercera edición en la página 141 al final.

No entiendo de qué está hablando. Es un resultado conocido y general que las diferenciales estocásticas son martingalas si y sólo si no tienen $\text{dt}$ - término. No tiene nada que ver con el teorema de Girsanov. El teorema de Girsanov trata de cómo cuando cambiamos de $P$ a $Q$ conservamos $\sigma$ pero el término de la deriva cambia a otra cosa.

Entonces, ¿por qué se refiere aquí al teorema de Girsanov, en lugar del resultado general de "ningún término dt $\iff$ martingala". De hecho, Girsanov parece completamente irrelevante aquí.

Answer 1

El primer resultado al que aludes se conoce como representación de la martingala teorema. Más concretamente, lo que dice es válido para procesos de trayectorias continuas. Para los procesos de salto, puede haber y habrá un $dt$ término en su representación martingala (compensador).

El teorema de Girsanov se refiere al cambio de medidas de probabilidad, como también mencionas correctamente. Para mí, el autor simplemente quiere decir que esto implica que existen medios para pasar de P a un montón de otras medidas equivalentes (especialmente una bajo la cual la deriva será cero).

Así que supongo que hay dos cosas:

• Dado que P existe, ¿hay otros equivalente Existen medidas de probabilidad, ¿cuáles son y cómo pasamos de P a estas medidas? Esto viene dado por el teorema de Girsanov. Entre estas medidas equivalentes existe una bajo la cual la deriva es cero.

• Si la deriva de un proceso de trayectorias continuas es cero bajo una determinada medida, entonces el proceso será una martingala bajo esa medida.