Continuando con la respuesta de @1muflon1, la desventaja de la media es que ignora por completo la desigualdad o variación de los ingresos. Esto puede compensarse (en parte) observando medidas de dispersión, como la varianza o el rango intercuartil.
La literatura económica sobre desigualdad y medición del bienestar contiene una gran cantidad de conceptos para investigar y analizar tanto la desigualdad como el bienestar (y su compensación). Uno de los conceptos más útiles (en mi opinión) es la curva de Lorenz generalizada.
Supongamos que tenemos una sociedad de $N$ individuos donde el individuo $i$ tiene un ingreso $y_i$. Clasifiquemos a estos individuos según sus ingresos, de menor a mayor (rompiendo los empates de forma arbitraria). Entonces el individuo $i$ está en el percentil $\dfrac{i}{N}$ de la distribución de ingresos.
La curva de Lorenz generalizada es un gráfico con en el eje $x$ los valores de $\dfrac{i}{N}$ (entre $0$ y $1$) y en el eje $y$ el valor: $$ GL\left(\frac{i}{N}\right) = \dfrac{\sum_{j = 1}^i y_j}{N}. $$ Por lo tanto, traza la posición del individuo $i$ en comparación con el ingreso total de todos los individuos con ingresos inferiores (o iguales) a $i$ (normalizado para la población total). Tomando $\overline{y}$ como el ingreso promedio, tenemos que:
$$ GL\left(\frac{i}{N}\right) = \frac{\sum_{j = 1}^i y_j}{N} = \frac{\sum_{j = 1}^i y_j}{\sum_{j = 1}^N y_j}{\overline{y}},\\ = L\left(\frac{i}{N}\right) \overline{y}. $$
Donde $L(.)$ es la curva de Lorenz habitual que traza la fracción de ingresos de todos los individuos más pobres que $i$. Esto muestra que la curva de Lorenz generalizada es simplemente una reescala de la curva de Lorenz por el ingreso promedio $\overline{y}$.
Notemos que $GL(1) = \overline{y}$, por lo que podemos ver directamente el ingreso promedio desde el gráfico. Como ejemplo, consideremos dos sociedades con 4 individuos y con ingresos $X = (1,2,5,7)$ y $Y = (2, 3, 4, 7)$. Las curvas de Lorenz se muestran a continuación (en morado para $X$ y en rojo para $Y$). Observamos que la curva de $GL$ para $Y$ está completamente por encima de la de $X$.
![GL]()
Se puede clasificar parcialmente diferentes distribuciones de ingresos al observar si una curva de Lorenz generalizada domina a otra. Esto tiene implicaciones importantes en términos de clasificación de estos países en función de algunas funciones de bienestar.
Sean $X = (x_1,\ldots, x_N)$ y $Y = (y_1,\ldots, y_N)$ dos distribuciones de ingresos y sea $W$ alguna función de bienestar utilizada para clasificar las distribuciones, por lo que $X$ proporciona más bienestar que $Y$ si $W(X) \ge W(Y)$. Primero, podríamos imponer que $W$ sea creciente (ya que más ingresos son mejores) y que sea cóncava, por lo que nos oponemos a la desigualdad. Por ejemplo, tenemos el siguiente resultado (supongo que esto se remonta a Shorrocks (1983), Ranking Income Distributions, Economica, 50, p. 3-17)
Teorema: La curva de Lorenz generalizada para $Y$ está por encima de la curva de Lorenz generalizada para $X$ si y solo si para todas las funciones de bienestar social cóncavas y crecientes $W(Y) \ge W(X)$.
Prueba: Supongamos que la curva de Lorenz generalizada de $Y$ está por encima de la de $X$ y que $W$ es monótona y cóncava. De la concavidad tenemos que:
$W(X) - W(Y) \le \sum_{j = 1}^N \omega_j (x_j - y_j)$
donde $\omega_j$ es el subdiferencial de $W$ en $Y$ (si $W$ es diferenciable, esto es simplemente la derivada de $W(Y)$ con respecto a $y_j$). De la concavidad, vemos que $\omega_j$ disminuye con $j$.
Para $j < N$, sea $\Delta_j = \omega_j - \omega_{j+1} \ge 0$ y defina $\Delta_N = \omega_n$ entonces $\omega_j = \sum_{i = j}^N \Delta_i$. Esto da:
$$ \begin{align*} W(X) - W(Y) &\le \sum_{j = 1}^N \sum_{i = j}^N \Delta_i (x_j - y_j),\\ &= \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^i\Delta_i (x_j - y_j),\\ &= \sum_{i = 1}^N \Delta_i \sum_{j = 1}^i (x_j - y_j) \le 0, \end{align*} $$ El hecho de que el último término sea negativo se sigue de la suposición de que la curva de Lorenz generalizada de $Y$ está por encima de la de $X$: $\sum_{j = 1}^i x_j \le \sum_{j = 1}^i y_j$ para todo $i$.
Para el inverso, supongamos que $W(Y) \ge W(X)$ para todas las funciones de bienestar convexas y monótonas. Sea $\varepsilon > 0$, $k \le N$, y defina $W_{\varepsilon,k} (Y) = \sum_{i = 1}^k y_k + \varepsilon \sum_{i = k + 1}^N y_i$. Esta es una función monótona y convexa (lineal). Ahora, si $W_{\varepsilon,k}(Y) \ge W_{\varepsilon,k}(X)$, tenemos:
$$ \begin{align*} &\sum_{i = 1}^k (y_k- x_k) + \varepsilon\left(\sum_{i = k+1}^N (y_k - x_k)\right) \ge 0,\\ &\sum_{i = 1}^k (y_k - x_k) \ge \varepsilon\left(\sum_{i = k+1}^N (x_k - y_k)\right) \end{align*} $$ Como esto se cumple para todo $\varepsilon > 0$, obtenemos: $$ \sum_{i = 1}^k (y_k - x_k) \ge 0. $$ Esto se cumple para todo $k$, por lo que obtenemos que la curva de Lorenz generalizada de $Y$ está por encima de la de $X$. $\square$
Si las dos curvas de Lorenz generalizadas se cruzan, no podemos hacer tal comparación. Sin embargo, existen otros resultados de tipo "dominio" incluso en estos casos (por ejemplo, la curva de $GL$ de $Y$ cruza una vez la curva de $GL$ de $X$ desde arriba). Una buena referencia es el libro de Peter J. Lambert, The distribution and redistribution of Income.
