Paridad de tipos de interés cubierta con ajuste de divisas al contado

Question

El Paridad de tipos de interés cubierta para FX se cita a menudo de forma simplista como $$ X_T \quad=\quad X_S \cdot \frac{D^{base}_T}{D^{quote}_T} $$ donde $X_t$ es el tipo de cambio (proyectado) en el momento $t$ (denotado como $1$ base = $X$ cita), $D_t^{ccy}$ es el factor de descuento del tiempo $t$ en moneda $ccy$ y $X_S$ indica el tipo de cambio al contado actual.

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Para derivar esta paridad se puede observar un flujo de caja de 1 USD a $T$ puede ser descontado en USD y luego convertido al contado $X_S$ a JPY. O, lo que es lo mismo, convertir en $X_T$ y descuento en JPY. Así que $$ \text{NPV in JPY} \quad=\quad (1\text{ USD} \cdot D_T^{USD}) \cdot X_S \quad=\quad (1\text{ USD} \cdot X_T) \cdot D_T^{JPY} $$ que implica la paridad.

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En la práctica, la paridad anterior no se cumple, ya que el spot $\ne$ hoy (por ejemplo, cuando spot = hoy + 2 días). De este modo, obtenemos un completo paridad: $$ X_{T} \quad=\quad X_{S} \cdot \frac{D^{base}_{T}}{D^{quote}_{T}} \cdot \color{blue}{\frac{D^{quote}_{S}}{D^{base}_{S}}} $$ Por ejemplo, véase la implementación de QuantLib: github.com/.../QuantLib/.../ratehelpers.cpp#L995-L1012

Estoy luchando por incorporar correctamente esto $\color{blue}{\text{spot adjustment}}$ en el argumento de no arbitraje/replicación, que he esbozado anteriormente. ¿Puede alguien ayudar?

Answer 1

Se está utilizando un sencillo truco para dar con los factores de descuento adecuados.

Desde $D_T=\frac{1}{1+r_1}\frac{1}{1+r_2}\frac{1}{1+r_3}\cdots\frac{1}{1+r_T}$

y $D_S=\frac{1}{1+r_1}\frac{1}{1+r_2}$

podemos formar el factor de descuento deseado desde dentro de dos días hasta la fecha $T$ como sigue

$\frac{D_T}{D_S}=\frac{1}{1+r_3}\cdots\frac{1}{1+r_T}$ (que podríamos llamar $D_{2,T}$ )

El mismo truco se utiliza tanto para la moneda base como para la moneda cotizada para eliminar el descuento no deseado de los dos primeros días que se produciría en un día ingenuo 0 a día $T$ descuento. No es tanto un argumento de arbitraje diferente como un refinamiento del cálculo de $D^{base}$ y $D^{quote}$ en su primera ecuación, reflejando que $D_{2,T}$ y no $D_{0,T}$ tipo de cálculo es necesario.