Prueba de la anidación de los equilibrios perfectos de subjuego

Question

A continuación se presenta un lema que considero verdadero y que me gustaría utilizar para derivar otros resultados

Toma dos juegos cualesquiera en forma extensiva (información completa) $\Gamma$ y $\Gamma'$ Diferentes sólo a través de sus colecciones de conjuntos de información $\mathcal{H}$ y $\mathcal{H'}$ . Supongamos que para cada nodo de decisión $x$ en el conjunto de nodos de decisión $\mathcal{X} = \mathcal{X}'$ , $H(x)$ es una partición más fina del conjunto de acciones $c(x) = c'(x)$ que $H'(x)$ .

Entonces, para cada equilibrio perfecto de subjuego resultado de $\Gamma$ existe un equilibrio subjuego perfecto de $\Gamma'$ con el mismo resultado (pero lo contrario no tiene por qué ser cierto).

Podría intentar escribir una prueba completa, pero parece ser una afirmación lo suficientemente básica y no quiero reinventar la rueda (o no rendir homenaje a las pruebas anteriores). Así que mi pregunta es:

• ¿Conoce usted alguna referencia en la que se demuestre ese resultado (o tal vez se refute en caso de que yo haya entendido algo mal)?

Editar : Sólo me interesan los equilibrios de estrategias puras.

Answer 1

¿Esto (y por qué o no) daría respuesta a su pregunta?

Answer 2

Tal vez he entendido algo mal, tal vez usted no permite los equilibrios mixtos. Eso puede ser extraño en juegos de información imperfecta.

Considere un juego asimétrico de emparejar monedas de un centavo. Ambos jugadores muestran Cara o Cruz. Olvidé cómo escribir las matrices del juego en mathjax, pero los pagos se ven algo así:

$\begin{bmatrix} -1,1 & 3,-3 \\ 1,-1 & -3,3 \end{bmatrix}$

Considere dos versiones de este juego.

Versión 1, $\Gamma'$
Los movimientos son simultáneos, por lo que el jugador 2 no observa el movimiento del jugador 1 y, por tanto, tiene dos nodos de decisión en su conjunto de información. En el equilibrio único, el jugador 1 mezcla Cara y Cruz con una probabilidad del 50%-50%. El jugador 2 mezcla Cara y Cruz con una probabilidad del 75%-25% respectivamente. La recompensa esperada es 0 para ambos.

Versión 2, $\Gamma$
Coincidencia secuencial de centavos. El jugador 1 mueve primero y su movimiento es observado por el jugador 2. En el equilibrio único, el jugador 1 muestra la cabeza, al igual que el jugador 2. La recompensa es -1 para el jugador 1 y 1 para el jugador 2.

Información: $\Gamma$ es un refinamiento de $\Gamma'$ pero los resultados de equilibrio no coinciden.