¿He encontrado el precio de emisión correcto?

Question

Digamos que hay un propietario de un hotel $(H)$ y un carpintero $(W)$ trabajando muy cerca unos de otros.

El trabajador de la madera produce $x$ unidades para vender en el mercado a $p_{x}=6,5$ . A partir de las actividades de trabajo de la madera, se crea una contaminación acústica que se mide por $a = \frac{1}{2}x$ y para proteger el oído de los trabajadores $W$ incurre en gastos de $1$ unidad de dinero por unidad de contaminación acústica $a$ . Otros costes de $W$ están en $\frac{1}{8}x^{2}$ .

De ello se desprende que $\pi_{W}=6,5x-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{2}x$

y $\pi_{H}=7g-\frac{1}{4}g^2-2a$ , donde $g$ es el número de invitados.

Ahora, he calculado que el óptimo social en el que $H,W$ producir son $x = 20$ y $g = 14$

Pregunta: La contaminación acústica sólo se permitirá si, por cada unidad de contaminación acústica $a$ un certificado de emisiones a precio $e$ se compra. $H$ se le da permiso para venderlos, bajo la premisa de que los venderá a un precio que maximice el bienestar. Calcule $e$ y determinar $\pi_{H}^{\operatorname{new}}$ .

Mi idea:

Mirando $\pi_{W}=6,5x-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{2}x-e a=6,5x-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{2}x-e \frac{1}{2}x$

$\frac{\partial \pi_{W}}{\partial x}=6-\frac{1}{4}x-\frac{e}{2}=0$ y como el óptimo social es $x = 20$ .

$\Rightarrow e = 2$

Pero en el conjunto de soluciones, dice $e=1$ ... ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Para calcular el socialmente nivel óptimo de $e$ , deberías mirar $\pi_W+\pi_H$ (es de suponer que así es también como se llega al óptimo social $x$ ). En $x=20$ , $e=1$ .

La intuición es que la producción del carpintero crea una externalidad de $-2a=-x$ en el hotel. Dado que el hotel tiene derecho a prohibir la contaminación acústica, el maderero tendría que compensar al hotel por su coste de soportar el ruido. En el óptimo social, la compensación marginal ( $e$ ) debe cubrir exactamente el coste marginal externo ( $-1$ ). Por lo tanto, $e=1$ en el óptimo social.