Encontrar la asignación de producción que minimiza los costes en una fusión de Cournot con costes simétricos

Question

Supongamos que tengo 3 empresas en un mercado. Tienen una función de costes idéntica y convexa, $C(q) = 20q + q^2$ = $C_1 = C_2 = C_3$ y cada empresa produce en su propia fábrica.

La demanda del mercado es lineal, $P=200-Q$ , donde $Q = q_1 + q_2 + q_3$

Ahora, supongamos que la empresa 2 y la empresa 3 se fusionan, pero los costes no cambian. La nueva empresa (llámese empresa $M$ ), tiene la misma función de costes que la anterior.

¿Cómo podría la empresa $M$ ¿decidir si producir en una fábrica por completo y cerrar la inactiva, o dividir la producción entre dos fábricas? En concreto, ¿qué opción supondría menores costes?

Intuitivamente, dado que la función de costes es convexa, sería beneficioso dividir la producción entre dos fábricas. No sé cómo identificar la función de costes de la empresa M cuando produce en ambas fábricas.

Answer 1

Se quiere modelar el problema de decisión de la empresa $M$ . En caso de que produzcan una cantidad total de $q_M$ pueden dividir esto entre las fábricas $1$ y $2$ . Firme $M$ puede minimizar el coste de producción $q_M$ unidades resolviendo el problema $$ \min_{q_1,q_2} C_1(q_1) + C_2(q_2) = \min_{q_1,q_2} 20q_1 + q_1^2 + 20q_2 + q_2^2 $$ sujeto a la restricción $$ q_M = q_1 + q_2. $$ (Y las habituales restricciones de no negatividad, pero eso no importará aquí).

La solución al problema anterior da como resultado $C_M(q_M)$ . Si la solución es tal que $q_1,q_2$ son ambos positivos, entonces no se debe cerrar ninguna fábrica.