¿Significado de la fijación de precios neutrales al riesgo?

Question

Supongamos que el subyacente $S$ es algún índice, por lo que el riesgo-rendimiento $\mu=0$ , donde $S$ se encuentra con $$d S = \sigma S d W_t.$$

Dejemos que $V$ denotan el precio de la opción de compra correspondiente. Para construir la fórmula BS correspondiente, construyo una cartera $\Pi=V-\Delta S$ después de establecer un valor correcto de $\Delta$ Quiero que la cartera esté libre de riesgos. Es decir $$d \Pi = r\Pi d t= r(V-\Delta S) d t,$$ donde $r$ es la tasa libre de riesgo.

Por lo tanto, mediante la fórmula de Ito, puedo obtener la ecuación BS.

Sin embargo, alguien me dijo que la identidad $d \Pi = r(V-\Delta S) d t$ debe ser $$d \Pi = (r*V-\mu*\Delta S) d t,$$ y luego obtener otra ecuación.

Ya que en mi opinión, en el mundo del riesgo neutro, $\mu$ se convierte en $r$ después de aplicar la transformación de Girsonov, y hacer que la cartera esté libre de riesgo es bajo el mundo neutral al riesgo. Estoy de acuerdo con la primera identidad.

Así que mi pregunta es ¿cuál es la correcta? Si es la segunda, ¿qué significa la fijación de precios neutrales al riesgo?

¡Muchas gracias!

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Añadido 2016/10/26 10:39AM(+8)

Gracias por @MJ73550. Estoy seguro de que el primero es ahora mismo.

Sin embargo, si distinguimos el tipo de financiación y el tipo de préstamo de los no valores (denotado como $r_F$ ) y la garantía de acciones (denotada como $r_R$ ). Entonces tal vez la identidad $d \Pi = r(V-\Delta S) d t$ debe ser $$d \Pi = (r_F*V-r_R*\Delta S) d t,$$

¿Esta ecuación es correcta?

Gracias de nuevo.

Answer 1

No sé si entiendo bien su pregunta.

¿Estoy en lo cierto al pensar que equivale a preguntar si la fórmula BS debe escribirse: $$\frac{\partial V}{\partial t} + \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 - r V = 0$$ con $\alpha=r$ o $\alpha=\mu$ ?

Si este es el caso, son las carteras de autofinanciación las que $t$ -valor debe surgir como $\Bbb{Q}$ martingalas. Así, si la acción paga dividendos $\alpha = r-q \ne r$ . Si su modelo incluye un coste de carry/repo más complejo, debería transpirar a través de $\alpha$ .

Cuando se introducen efectos del mundo real (garantía, asimetría de préstamos/préstamos, etc.), por supuesto, puede complicarse más; véase http://www.math.columbia.edu/~fts/What%20Rate%20to%20use%20v1.pdf (No he comprobado la validez de las ecuaciones, pero al menos te dará una idea de los efectos que se pueden incluir).

Answer 2

La primera ecuación es la correcta.

Pero no le ayudará a entender lo que ocurre detrás de la fijación de precios neutrales al riesgo.

Efectivamente, acabas de escribir que inviertes en efectivo y en acciones, pero no has escrito las condiciones de autofinanciación.

(1) Que $V_t$ sea el valor de la llamada,

(2) Que $\Delta_t$ sea el delta de su cobertura delta,

(3) Que $\Pi_t$ su efectivo remunerado en $r$ .

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(3) $\Leftrightarrow d \Pi_t = r\Pi_t dt$

(1)+(2)+(3) $\Leftrightarrow V_t = \Pi_t + \Delta_t S_t$

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Si su cartera está dividida entre efectivo y garantías.

Usted tiene

$V_t = \Pi^{cash}_t + \Pi^{collat}_t + \Delta_t S_t$

ahora tienes $d\Pi^{cash}_t = r^{cash}_t\Pi^{cash}_t dt$ y $d\Pi^{collat}_t = r^{collat}_t\Pi^{collat}_t dt$