Pregunta sobre el modelo de acumulación de capital humano de Acemoglu/Autor

Question

Estaba leyendo los apuntes de la conferencia de Acemoglu y Autor sobre Economía Laboral. https://economics.mit.edu/files/4689

He podido entender las ecuaciones 1.1 a 1.8 de los apuntes; sin embargo, no soy capaz de entender cómo se han derivado las ecuaciones 1.9 y 1.10 a partir de las ecuaciones 1.8 y 1.9 respectivamente. Entiendo que se aplicó la integración y la diferenciación, pero no soy capaz de averiguar los pasos exactos.

Para el paso de la ecuación 1.8 a la 1.9, he intentado entenderlo en términos de la regla general de la potencia y de la regla general exponencial de integración, pero hay tantos términos implicados que soy incapaz de pensar cómo se aplican estas reglas.

Para la transición de 1.9 a 1.10, he tratado de entender en términos de la regla del producto general y la regla del cociente de la diferenciación, pero soy incapaz de averiguar los pasos exactos.

Agradecería profundamente si alguien pudiera ayudarme a entender estos pasos. Por favor, hágame saber si se requiere cualquier otra información de mí.

Gracias.

Answer 1

El FOC de (1.9) es (estoy omitiendo el contenido del $\exp()$ expresión para abreviar):

$ \frac{1}{r+\nu+g_h + g_w} \left(\eta'(S)w(0) \exp(\cdot) + \eta(S) w(0) (r + \nu - g_w)\exp(\cdot)\right) \overset{!}{=} 0$

Esto hace uso de la regla del producto. Como el primer término no puede ser 0 debido a la última ecuación de la p.~11, debe ser el segundo

$ \eta'(S)w(0) \exp(\cdot) = \eta(S) w(0) (r + \nu - g_w)\exp(\cdot) $

$ \eta'(S) = \eta(S) (r + \nu - g_w) $ dando lugar a la Ec. (1.10):

$ \frac{\eta'(S)}{\eta(S)} = r + \nu - g_w $