Funciones periódicas al determinar el precio de no arbitraje

Question

¿Es posible valorar una reclamación T que tiene un componente periódico? Por ejemplo, un crédito del tipo $X = cos(S(T))$ .

Suponemos que $S(T)$ es el precio de las acciones derivado de la dinámica $dS(t)=rS(t)dt+\sigma S(t)dW(t)$ . Por lo tanto, $S(T)=S(t)e^{(r-\sigma^2/2)(T-t)+\sigma (W(T)-W(t))}$ .

Cuál es entonces el precio de no arbitraje $\Pi(t;X)=e^{-r(T-t)}E^Q_t[cos(S(T))]$ ? Si esto es teóricamente posible, ¿cómo se calcularía dicho precio?

Answer 1

Por supuesto, es posible fijar el precio de un contrato de este tipo en un mercado sin arbitraje. De hecho, si $f$ es una función suficientemente suave, entonces se puede fijar el precio de todos los contratos pagando $f(S_T)$ . Tenga en cuenta que su pago específico no tiene opcionalidad y que el pago puede ser negativo. Bakshi y Madan (2000) discuten el significado económico de un derivado que paga $\cos(S_T)$ en el contexto de la finalización del mercado y las funciones características.

Hay muchas maneras de resolver el problema de los precios:

Precios estándar de riesgo neutro

Mira el caso más simple del precio del tiempo cero \begin{align} \Pi(0;X) &= e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\cos(S_T)] \\ &= e^{-rT}\int_\mathbb{R}\cos(x)f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)\mathrm{d}x \\ &= e^{-rT}\int_0^\infty \cos(x)\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2T}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln(x)-\ln(S_0)-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2\right)\mathrm{d}x \end{align} En el caso estándar de put/call, la sustitución $\xi=\frac{\ln(x)-\ln(S_0)-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$ con $\mathrm{d}x=x\sigma\sqrt{T}\mathrm{d}\xi$ concluye el cómputo, es decir $$ \Pi(0;X) = e^{-rT}\int_\mathbb{R} \cos(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\xi^2\right)\mathrm{d}\xi.$$ En su caso, la integral puede ser un poco más difícil de calcular debido a la $\cos(x)$ término, donde $x=\exp\left(\xi\sigma\sqrt{T}+\ln(S_0)+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T\right)$ .

Fórmula de replicación estática de Carr Madan

Suponiendo que se sabe cómo valorar las opciones de compra en el modelo elegido (fácil en el caso de Black Scholes), podemos utilizar lo siguiente fórmula \begin{align*} f(x) &= f(a) + f'(a)\cdot \left( (x-a)^+ - (a-x)^+ \right)\\ &+ \int_0^a f''(\kappa) (\kappa-x)^+ \mathrm{d}\kappa+ \int_a^\infty f''(\kappa) (x-\kappa)^+ \mathrm{d}\kappa, \end{align*} que es válida para cualquier caso de suavidad suficiente $f$ y para cualquier $a\geq 0$ . Esto expresa una función de recompensa $f$ en términos de la función de pago de las opciones de venta y de compra. Utilizando $f(x)=\cos(x)$ y $a=0$ obtenemos \begin{align*} \cos(x) &= 1 - \int_0^\infty \cos(\kappa) (x-\kappa)^+ \mathrm{d}\kappa \\ \implies \Pi(t,X) &= e^{-r(T-t)}-\int_0^\infty \cos(\kappa)\mathrm{Call}(S_t,\kappa,T)\mathrm{d}\kappa, \end{align*} donde $\mathrm{Call}(S_t,\kappa,T)$ denota el precio Black Scholes de una opción de compra de tipo europeo con precio de ejercicio $\kappa$ y la madurez $T$ . Se obtiene una integral que puede ser difícil de calcular analíticamente, pero es muy fácil aproximar la integral con una precisión arbitraria.

Algoritmos numéricos estándar

Es muy fácil encontrar el precio de este reclamo utilizando simulaciones de Monte Carlo.. Basta con simular realizaciones de $S_T$ y aplicamos la función coseno al precio de la acción terminal. De este modo, se conoce el resultado futuro, que sólo hay que descontar y promediar. Por supuesto, también puedes emplear otras técnicas numéricas como los árboles y los métodos de Fourier.

Mira este resumen R ejemplo de simulación Monte Carlo

tau = 1 #Time to maturity
s0 = 1.75 # initial stock price
sigma = 0.1 # volatility p.a.
r = 0.1 # interest rate p.a.
nSim = 1000000
Z <- rnorm(nSim, mean=0, sd=1)
WT <- sqrt(tau) * Z
ST = s0*exp((r - 0.5*sigma^2)*tau + sigma*WT) # terminal stock price
simulated_payoffs <- exp(-r*tau)*cos(ST) # discounted payoff
price <- mean(simulated_payoffs)

Verá que el precio es negativo. Esto es imposible para las opciones de venta y de compra debido a su opcionalidad, pero bastante posible para su demanda pagando $\cos(S_T)$ ya que el propio pago puede ser negativo...