Equilibrio de Nash bayesiano de estrategia mixta

Question

En una clase de teoría de juegos se planteó una pregunta de ejercicio sobre dos jugadores con dos tipos cada uno. Los dos jugadores fueron asignados para hacer un proyecto de equipo juntos. La utilidad de hacer el proyecto en equipo es de 10 para ambos jugadores. El coste de realizar el proyecto para el jugador 1 (C1) puede ser 5 o 15, y el coste de realizar el proyecto para el jugador 2 también puede ser 5 o 15. y la probabilidad de que el coste sea 15 es de 1/3 para ambos jugadores.

Ahora el profesor dijo que había tres Equilibrios de Nash Bayesianos. De los tres, dos eran bastante similares.

Un equilibrio fue

Jugador 1 con tipo de coste alto - no hacer proyecto

Jugador 2 con tipo de coste alto - no hacer proyecto

Jugador 1 con tipo de coste bajo - no hacer proyecto

Jugador 2 con tipo de coste bajo - hacer proyecto

y otro equilibrio bayesiano es lo mismo que el anterior con el jugador 1 con tipo de coste bajo y el jugador 2 con tipo de coste bajo intercambiados en cuanto a su acción. Y afortunadamente entendí cómo se derivaron los dos equilibrios usando la comparación de la utilidad esperada.

El problema que tengo ahora mismo es con el tercer equilibrio. El profesor mencionó que existe un tercer equilibrio usando "Estrategia Mixta" pero eso es todo lo que mencionó y no lo repasó. ¿Cómo podemos resolver el Equilibrio Bayesiano de Nash de Estrategia Mixta para este tipo de pregunta? He hecho la estrategia mixta para la información perfecta, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo para el Equilibrio Bayesiano de Nash con información incompleta. Agradecería algunas explicaciones sobre cómo resolver el equilibrio nash bayesiano de estrategia mixta utilizando esta actividad. Gracias.

Answer 1

El truco para encontrar un Equilibrio de Nash de estrategia mixta es que, dadas las estrategias de los demás, todos los jugadores serán indiferentes entre cada una de las opciones sobre las que aleatorizan (es decir, esas opciones producirán el mismo resultado). Así que todo lo que hay que hacer es escribir una expresión que relacione los pagos esperados de cada jugador para cada estrategia, y resolver las frecuencias. Si x representa la probabilidad de que el jugador j realice el proyecto, la recompensa del jugador i de bajo coste por realizar el proyecto es 5, mientras que su recompensa esperada por no realizar el proyecto es 10x. Por tanto, en el equilibrio de Nash, 5=10x. La información incompleta complica ligeramente el problema: el jugador i puede esperar que j complete el proyecto la mitad de las veces, la tarea es ahora encontrar la probabilidad de j de completar el proyecto dado que son de bajo coste (no es demasiado difícil, ya que los jugadores de alto coste nunca harán el proyecto). El resto se lo dejo a usted.