La ecuación de Slutsky vincula las funciones de demanda de Hicksian y Marshallian.
La demanda de Hicksian minimiza el costo necesario para alcanzar cierta utilidad. En tu pregunta, has etiquetado esto como $x_1^s$ (aunque no estoy familiarizado con esta notación). Debido a que la demanda de Hicksian mantiene constante la utilidad, mide el efecto de sustitución puro.
La demanda de Marshallian maximiza la utilidad dada una renta fija. En tu pregunta, has etiquetado esto como $x_1^m$. Debido a que la demanda de Marshallian mantiene constante la renta, el precio afecta la demanda de Marshallian tanto porque un aumento de precio de un bien hace que el otro bien sea más atractivo (efecto de sustitución) y porque disminuye los diferentes tipos de canastas de bienes que puedes comprar (efecto ingreso).
Observa que, para encontrar $x_1^* = 2m/3p_1$ y $x_2^* = m/3p_2$, maximizaste la utilidad dada una renta fija, resolviendo $MU_{x_1}/MU_{x_2} = p_1/p_2$ con $m=p_1x_1+p_2x_2$. Y así, lo que has encontrado y etiquetado como $x_1^*$ y $x_2^*$ son la demanda de Marshallian.
Eso nos lleva de vuelta a la ecuación de Slutsky
$$\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1} = \frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}+x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$$
¿Qué quiere decir esto? Recuerda, la demanda de Hicksian es el efecto de sustitución puro. Entonces $\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}$ es el efecto de sustitución. Y la demanda de Marshallian incluye el efecto de sustitución y el efecto ingreso.
Por lo tanto, lo que esto significa es que el efecto de sustitución ($\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}$) es lo que obtienes si comienzas con el efecto total ($\frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}$), incluyendo efectos de ingreso y de sustitución, y luego eliminas el efecto ingreso ($x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$). [nota abajo]
Entonces, ¿dónde te deja eso?
Puedes calcular el efecto ingreso como $x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$. En otras palabras, a medida que el precio sube, sube para cada una de las unidades $x_1$ que estás comprando, y por lo tanto el efecto en el ingreso es el cambio de precio (1) multiplicado por el número de unidades ($x_1$). Y el ingreso afecta tu demanda de $x_1$ a través de $\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$, por lo que el efecto de ingreso es $x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$. Dado que tienes demanda de Marshallian, simplemente toma la derivada de $x_1^m$ con respecto a $m$ para obtener $\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$, y luego multiplica por $x_1$ para obtener el efecto de ingreso.
Puedes calcular el efecto de sustitución, entonces, de dos maneras. Puedes usar la ecuación de Slutsky: calcular el efecto total $\frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}$ tomando la derivada de $x_1^m$ con respecto a $p_1$, y luego inserta eso en la ecuación de Slutsky con el efecto de ingreso para obtener el efecto de sustitución, $\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}$.
O, puedes calcular la demanda de Hicksian $x_1^s$ directamente resolviendo $MU_{x_1}/MU_{x_2} = p_1/p_2$ con $U(x_1,x_2) = s$. Luego, toma la derivada de $x_1^s$ con respecto a $p_1$ para obtener el efecto de sustitución.
[Nota: Puede parecer extraño "eliminar" el efecto de ingreso al agregarlo. Pero recuerda que el efecto total es negativo, ya que un $p_1$ más alto conduce a menos $x_1$. Y por lo tanto agregar un efecto de ingreso positivo (un ingreso más alto conduce a una mayor consumo de bienes normales) realmente "elimina" el efecto de ingreso.]
