¿"El modelo Black-Scholes implica gráficos de volatilidad implícita planos"?

Question

Soy principiante en Finanzas y me confunde la afirmación "El modelo Black-Scholes implica parcelas de volatilidad implícita plana"

He aquí una forma de esta afirmación: (Dan Stefanica, 150 preguntas más frecuentes en Quant Interviews, 3.3.12)

"Sobre el mismo activo, se cotizan los precios de las opciones con múltiples strikes y vencimientos y pueden calcularse las volatilidades implícitas para cada una de estas opciones. Si el precio del activo tuviera una distribución lognormal -como se supone en el modelo Black-Scholes-, los gráficos resultantes de la volatilidad implícita frente al strike serían planos"

Pero seguramente la volatilidad se supone constante en la derivación del BS en primer lugar. Es una suposición, no una consecuencia de que "el precio del activo tenga una distribución lognormal"?

He aquí otro ejemplo de mi confusión, esta vez de este documento http://www.columbia.edu%2F~mh2078%2FBlackScholesCtsTime.pdf

Según entiendo, en el modelo Black-Scholes, fijamos K,T, asumimos $\exists \sigma=\sigma(K,T)$ para esos K,T y llegamos a la fórmula BS anterior

No hay nada en la derivación de BS que suponga $\exists \sigma, \forall K,T ....$ ?

Answer 1

En cuanto a su segunda pregunta: Recuerde que Black/Scholes comienzan postulando un modelo estocástico para la dinámica del activo subyacente - un movimiento browniano geométrico con un coeficiente de difusión constante $\sigma$ . Este proceso de precios de los activos debería ser el mismo independientemente de la opción que se quiera valorar en base a él. Decir que se permiten diferentes valores para $\sigma$ para diferentes strikes o vencimientos significa esencialmente que se utiliza un modelo diferente para cada opción vainilla, lo cual es incoherente y seguramente no es lo que tenían en mente inicialmente.

En cuanto a su primera pregunta: La volatilidad implícita $\hat{\sigma}(T, K)$ es el valor del coeficiente de difusión constante que da lugar a un precio Black/Scholes igual a algún precio de mercado observado. Así que, obviamente, si los precios de mercado para todos los $(T, K)$ se calcularon utilizando un modelo Black/Scholes con una volatilidad común $\sigma^*$ entonces se recuperaría este mismo valor como la volatilidad implícita $\hat{\sigma}(T, K) = \sigma^*$ y, por tanto, una superficie de volatilidad plana. Del mismo modo, esta superficie fija $\sigma^*$ resulta en precios con distribución logarítmica normal. Por lo tanto, si las densidades implícitas para el precio al contado terminal de un determinado vencimiento se distribuyeran de forma log-normal, entonces la correspondiente sonrisa de volatilidad implícita sería plana.