Elasticidad del precio cuando la relación entre las ventas, el precio y otros factores no es lineal

Question

Para el despliegue comercial, la elasticidad del precio se calcula mediante una regresión lineal que supone que existe una relación lineal entre el precio y las ventas. Tengo a) el precio y b) las valoraciones de los medios sociales para mi producto. Sé que las valoraciones de las redes sociales influyen en la decisión del consumidor de comprar o no comprar algo. Según la hipótesis de la regresión lineal, si la valoración de las redes sociales es baja, debemos reducir el precio para mejorar las ventas. Sin embargo, más allá de un punto, la reducción de precios no ayudará a aumentar las ventas. Esto es una violación de la linealidad.

Así que mi pregunta es qué pasa si

1) ¿La relación no es lineal incluso después de la transformación logarítmica de los datos?

2) ¿Cómo puedo saber en qué momento debo dejar de reducir el precio?

Para ponerme en antecedentes, ya he leído esto Econometría: ¿Tiene sentido la elasticidad en mi, o en cualquier, regresión? Sin embargo, no parece responder a mi segunda pregunta, que es ¿seguirán aumentando mis ventas si sigo bajando el precio aunque tenga una baja valoración en las redes sociales?

Mis antecedentes: Soy estadístico y mis conocimientos de economía son los que leí en la universidad. Estoy trabajando en un problema de optimización de ingresos

Answer 1

Existe una confusión entre una "relación lineal entre dos variables" y una "ecuación econométrica que es lineal en los parámetros desconocidos que hay que estimar".

La primera tiene que ver con lo que ocurre en la realidad, e implica que la relación marginal es constante. La segunda puede obtenerse aunque la relación real no sea lineal, sino no lineal de manera específica que permiten obtenerla mediante una transformación adecuada de los datos.

Para ilustrar esto, para el caso de la OP, la parte real (determinista) de la relación puede ser

$$X_d = AR^aP^{-b} \tag{1}$$

Demanda $X_d$ para el producto es una función no lineal positiva de las valoraciones sociales $R$ y una función no lineal negativa de su propio precio $P$ . El efecto marginal del precio para esta relación no es constante

$$ \frac {\partial X_d}{\partial P} = -\frac{b}{P}X_d <0$$

Asumiendo $(1)$ ya hemos hecho una serie de suposiciones sobre la interacción de las variables implicadas. Esta especificación nos permite obtener "una ecuación econométrica que es lineal en los parámetros desconocidos que hay que estimar" ya que al tomar los logaritmos tenemos

$$\ln X_d =\ln A +a\ln R +(-b)\ln P \tag{2}$$

Así pues, aunque el efecto marginal del precio sobre la demanda no es lineal ni constante, el elasticidad de la demanda con respecto al precio es constante, e igual a $-b$ (el signo indica la dirección de la influencia).

Pero es $(1)$ una forma adecuada de representar la relación real?

Así que la forma correcta de proceder aquí es

1) A nuestro entender, utilizando pruebas y argumentos lógicos, determinamos las interrelaciones cualitativas entre las variables implicadas: ¿es el efecto positivo/negativo? ¿La relación de sus niveles es lineal/no lineal? ¿Es monótona o, por ejemplo, "en U invertida", etc.

2) Construimos una forma matemática que refleje cualitativamente las conclusiones/supuestos a los que hemos llegado en el paso 1. Por ejemplo, si creemos que existe una relación "U invertida" entre los niveles de $Y$ y $Z$ esto podría ser modelado por $Y = a + bZ + cZ^2$ con $c<0$

3) Si la expresión matemática que obtenemos en el paso 2 no es lineal en los parámetros desconocidos de interés, comprobamos si se puede transformar en una que sí lo sea. Por supuesto, existen métodos de estimación para relaciones no lineales, siendo los mínimos cuadrados no lineales el ejemplo más fácil. Pero la experiencia nos ha enseñado que nuestras técnicas de estimación son mejores cuando estiman ecuaciones lineales en los parámetros desconocidos, por eso siempre intentamos llegar a una especificación de este tipo, aunque en el proceso podamos aceptar ciertas aproximaciones a lo que hemos obtenido en el paso 2 (y no sólo transformaciones exactas).