¿Qué describe la función de demanda de un individuo?

Question

Ahora bien, esta parece una pregunta súper fácil y sencilla, ¿verdad? De la wikipedia:

La curva de demanda es el gráfico que representa la relación entre el precio de un determinado producto y la cantidad de éste que los consumidores están dispuestos y pueden comprar a ese precio.

Para mí, esto se lee así: para un individuo, la función de demanda responde, para todos los valores de $p$ la pregunta: "si el precio es $p$ por unidad, cuántas unidades $q(p)$ ¿compraría el individuo?"

Como ejemplo, consideremos mi curva de demanda personal $q = 10-p$ para un determinado bien. Yo lo interpretaría, también con la definición anterior, de la siguiente manera: si el precio es de 10/unidad o más, no compro nada. Si es de 7/unidad, compro 3 unidades.

El gran punto aquí es que esto parece implicar, que pagaría 7/unidad por cada de las 3 unidades. ¿Es eso correcto? Las cosas serían diferentes si me encontrara con una situación en la que tuviera que pagar más por las 2 primeras unidades. En ese caso, podría decidir comprar menos de 3 unidades. Y no estaría contradiciendo mi función de demanda. Al menos, no, si fuera como yo interpreté la definición.

Alternativa: parece menos ajustado al texto, pero mucho más conveniente para las matemáticas, interpretar la función de demanda de la siguiente manera. La función de demanda responde, para todos los valores de $q$ la pregunta: "si un individuo ya tiene $q-1$ unidades, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por la unidad $q(p)$ ?" (o, como integral, "si un individuo ya tiene una cantidad $q$ ¿cuánto costaría? $p(q)$ sea, con $p(q)dq$ la cantidad que está dispuesto a pagar por una cantidad adicional $dq$ ?").

Gracias.

Answer 1

La función de demanda no dice cuánto está dispuesto a pagar por una cantidad adicional dq. La función de demanda dice: dado que el precio del bien es $p$ , usted comprará $Q(p)$ de ellos. Creo que su confusión radica en el hecho de que es posible cobrar diferentes precios por cada unidad de bien. Fíjate que nuestra teoría supone un solo precio, no varios.

Además, la noción de que el excedente del consumidor mide la diferencia entre lo que ha pagado y lo que está dispuesto a pagar es completamente falsa. Supongamos que la función de demanda es $Q(p)=-5p+100$ . Supongamos además que el precio es $5$ , por lo que estaría comprando en una cantidad $75$ . El excedente del consumidor es: $$CS=\int_0^5Q(p)dp=\int_0^5 -5p+100dp=562.5.$$ Si lo interpretamos como la diferencia entre lo que ha pagado y lo que está dispuesto a pagar, sabemos que está dispuesto a pagar $562.5+5\times75=937.5$ para $75$ unidades de ellos. En otras palabras, usted está dispuesto a aceptar un precio $937.5/75=12.5$ . Sin embargo, si introducimos esta cifra en nuestra función de demanda, encontramos que $Q(12.5)=37.5$ es decir, sólo está dispuesto a comprar 37,5 unidades del bien, lo que contradice claramente nuestra interpretación del excedente del consumidor.

Para un mejor tratamiento del excedente del consumidor, le recomendaría consultar textos avanzados de teoría microeconómica como el libro de Mas-Colell o el más avanzado de Varian.

Answer 2

En las conversaciones con Kun parece que hemos encontrado una respuesta satisfactoria.

TL;DR es como he sugerido en el último párrafo de mi pregunta.

Respuesta larga :

Esto se está convirtiendo en algo exagerado para una pregunta que podría buscarse en un par de minutos, pero es un ejercicio interesante para ver si podemos dar la respuesta correcta nosotros mismos.

¿Qué es lo que intentamos conseguir de nuevo?

Tenemos

• Un bien infinitamente divisible
• Un consumidor con función de demanda $q = Q(p)$ para este bien, con la correspondiente función de demanda inversa $p=P(q)$ . Estos se describen mediante una curva (la curva de demanda) en la $q,p$ -Avión.

Estamos tratando de establecer si un punto $(q,p)$ en la curva de demanda describe

• A. el precio por unidad $p$ que el consumidor está dispuesto a pagar, por cada unidad, por una cantidad total $q$ o

• B. el precio por unidad $p$ que el consumidor está dispuesto a pagar por una cantidad adicional $\text{d}q$ , dada una posesión de $q$ unidades.

Dejemos que nuestra tesis sea esta última, y veamos si nos encontramos con una contradicción.

Excedente del consumidor

Tomemos la línea recta simple $p+q=25$ donde un precio unitario constante de 5 prescribe una demanda de 20:

El área entre la curva de demanda, $p=5$ y $q=0$ se denomina Superávit del Consumidor CS, y podemos calcularlo por integración: $$\int_5^\infty Q(p)~\text{d}p=\int_5^{25} (25-p)~\text{d}p$$ Esto es lo mismo que $$\int_0^{20} (P(q)-5)~\text{d}q=\int_0^{20} \big((25-q)-5\big)~\text{d}q$$ Esto último muestra que la zona podría interpretarse como la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar y lo que está pagando -- al menos, si nuestra tesis es válida y la interpretación (b) se mantiene.

Consideramos que el CS en este caso es de 200.

Nuestra tesis puede ayudar a interpretarlo. Si el precio es 5, el consumidor sigue comprando hasta que la cantidad adicional que podría comprar no le aporte esa utilidad adicional de 5. Eso ocurre con una cantidad de 20. Como pudo comprar todo unidades a un precio de 5, esto representa una ventaja: habría pagado más por una unidad adicional cuando todavía tenía menos unidades. Por ejemplo, cuando aún tenía sólo 15 unidades, habría pagado 10 por unidad por la cantidad adicional.

Disposición total a pagar

La disposición total a pagar TWTP por una cantidad $q$ (es decir, el precio máximo aceptado para esa cantidad) puede calcularse como la suma de la disposición a pagar por cada unidad posterior hasta $q$ (es decir, el precio máximo aceptado por unidad para las unidades adicionales): $$TWTP(q) = \int_0^{q} WTP(q')~\text{d}q'$$

Así, para calcular cuánto habría pagado nuestro comprador como máximo (en total) por esas 20 unidades, debemos sumar los precios máximos de cada unidad individual. Si nuestra tesis es correcta y la interpretación (b) se mantiene, ésta es exactamente la función de demanda inversa $P$ para que $$TWTP = \int_0^{20} P(q')~\text{d}q'$$ Esta disposición total a pagar por 20 unidades resulta ser 300 en nuestro caso.

Ahora bien, en circunstancias normales el comprador no Necesito pagar esa cantidad por 20 unidades, sino que $5\cdot20=100$ . La diferencia entre ambos es el CS de 200. Se trata de la zona por encima de la $p=5$ línea, que es lo que cabría esperar.

Si tuviéramos una discriminación de precios perfecta, el vendedor del bien conocería la curva de demanda del comprador, y le vendería cada unidad del bien exactamente al precio máximo que estaría dispuesto a pagar por él; bajando gradualmente el precio con la utilidad marginal del comprador: $p=25-q$ . De este modo, el vendedor puede captar todo el CS, y el comprador pagaría así 300 por las 20 unidades.

Si nuestra tesis es errónea

Esta interpretación sólo funciona si nuestra tesis es correcta y la función de demanda inversa $P$ describe la disposición a pagar por cada unidad adicional. Si describe la disposición a pagar por unidad por ese y todos los anteriores unidades, es decir, la interpretación (a), las cosas son diferentes. En ese caso, el TWTP para $q$ unidades es simplemente la multiplicación de $q$ y $P(q)$ : $$TWTP(q) = q\cdot P(q)$$ Para saber cuánto se compraría con un precio no uniforme, tenemos que encontrar la disposición a pagar por cada unidad. Esa disposición a pagar es, como puede verse en la primera ecuación, la derivada de la disposición a pagar, por lo que, en este caso: $$WTP(q)=\frac{\text{d}}{\text{d}q}qP(q)=\frac{\text{d}}{\text{d}q}(25q-q^2)=25-2q$$ Así, la primera cantidad se vende a un precio unitario de 25, igual que antes. Esto tiene sentido, ya que el comprador no tiene todavía ninguna unidad, por lo que el precio marginal es igual al precio medio. Sin embargo, en el caso de la discriminación perfecta de precios, el precio del bien debería bajar dos veces más rápido de lo que hemos calculado anteriormente. Esto se debe a que la unidad adicional $\text{d}q$ que el vendedor intenta vender, no tiene una utilidad marginal dada por su precio (como ocurre en la interpretación (b)) sino por el aumento del precio total. 1 Además, en esta situación, el vendedor vende su última unidad por un precio de 5, que es cuando ha vendido sólo 10 unidades (frente a 20 si la interpretación (b) es correcta). El comprador ha gastado entonces $\int_0^{10} (25-2q)~\text{d}q=150$ que es su TWTP, pero para 10 unidades. Esto también tiene sentido: la curva de demanda prescribe un precio unitario (medio) máximo aceptado de 15, que es exactamente lo que se está pagando.

Lo que no podemos ver en ninguna parte, es la cifra de 200 que es el área sobre el $p=5$ línea. De hecho, el Excedente del Consumidor que era 200 en el caso de la interpretación (b), es en realidad 0 en el caso de la interpretación (a) -- simplemente por la forma en que se define la función de demanda inversa al precio medio unitario máximo: si tenemos un precio uniforme, el precio es el precio medio, y el comprador tendrá un incentivo para comprar más mientras su disposición a pagar sea mayor que el precio. Exactamente cuando compra la cantidad $q$ que, en su curva de demanda, corresponde al precio ofrecido $p$ es el precio medio que está dispuesto a pagar igual al precio ofrecido. Porque el precio medio que está dispuesto a pagar, multiplicado por la cantidad, es el precio total que está dispuesto a pagar por esa cantidad, y porque eso también es igual al precio que es pagando en ese punto de la curva, su CS es 0.

Conclusión:

Para tener una interpretación sensata del área entre la curva de demanda, $p=5$ y $q=0$ En el caso de la función de demanda inversa, denominada Excedente del Consumidor (CS), debemos interpretarla en el sentido de que " el precio por unidad $p$ que el consumidor está dispuesto a pagar por una cantidad adicional $\text{d}q$ , dada una posesión de $q$ unidades " (b). La interpretación común (a) como " el precio por unidad $p$ que el consumidor está dispuesto a pagar, por cada unidad, por una cantidad total $q$ "es incorrecto. Sin embargo, es fácil ver por qué a menudo se interpreta así. En primer lugar, es una interpretación más sencilla y fácil de visualizar y, en segundo lugar, en las situaciones cotidianas, en las que todos los precios son uniformes, sigue prediciendo la cantidad correcta a negociar.

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Notas a pie de página:

1: Esto nos da otra forma de llegar a la fórmula. Consideremos el comprador, que adquiere una cantidad $q$ cuando el precio medio por unidad es $P(q)$ . Al comprar una cantidad $q+\text{d}q$ cuando el precio por unidad es $P(q+\text{d}q)$ el coste total aumenta en $P(q+\text{d}q) - P(q)$ , lo que significa que es la utilidad de la unidad adicional $\text{d}q$ . Por lo tanto, la utilidad marginal por unidad es $\frac{(q+\text{d}q)\cdot P(q+\text{d}q)-q\cdot P(q)}{\text{d}q}$ . Utilizando la función de demanda inversa $P(q)=25-q$ Esto es lo que resulta ser $25-2q$ .

Answer 3

Su análisis de lo que representa la curva de demanda es correcto. Tu confusión proviene de la función de demanda demasiado simplista que has elegido. Una función de demanda "verdadera" sería más bien así:

Su ecuación es suficiente para estudiar lo que ocurre en el centro de la curva, pero no en las colas.

Las colas superiores tienen tal forma que realmente se comprarían algunas unidades aunque el precio suba mucho. Pero cuanto más sube, menos cambia la cantidad demandada. Esto se debe a que el producto tiene cierta utilidad para usted, por lo que está dispuesto a pagar un precio relativamente alto por una unidad del mismo. Pero entonces, cuanto más baje el precio, más podrá comprar. Pero cuantas más unidades compre, menos utilidad le aportará. Aunque te guste mucho comer una manzana, apuesto a que la centésima no te sabrá tan bien como la primera y te dará asco. Por eso la curva no llega al infinito cuando el precio es cero. Al llegar a cierto punto, tu demanda de manzana ya no crece.