Vi ATE y ATT en algunas discusiones sobre configuraciones de DID recientemente. ATE es el Efecto Promedio del Tratamiento mientras que ATT es Efectos Promedio del Tratamiento en los Tratados.
Me pregunto cuál es la diferencia entre estos dos términos y si hay algún ejemplo para aclarar dicha diferencia.
Los efectos del tratamiento son efectos causales de un tratamiento binario. Debido a que el tratamiento es binario, las personas son tratadas o no son tratadas. Para fines de ejemplo, supongamos que el tratamiento es la participación en un curso para ganar dinero: se dice que el curso te hace mejor en ganar dinero.
Obviamente, el efecto causal de dicho curso podría ser muy diferente de una persona a otra (esto se conoce como heterogeneidad del tratamiento). Algunas personas pueden aprender mucho del curso y realmente mejorar en ganar dinero mientras que otros se aburrirán con el contenido del curso y experimentarán un efecto nulo. Como es usual cuando medidas cuantitativas importantes varían entre unidades observacionales, una estadística resumen canónica es el promedio. El Efecto Promedio del Tratamiento (ATE) es simplemente eso: El promedio de los efectos de tratamiento individuales de la población en consideración. Y el Efecto Promedio del Tratamiento de los Tratados (ATT) es simplemente el promedio de los efectos de tratamiento individuales de aquellos tratados (por lo tanto, no de toda la población).
Para aclarar formalmente cuál es el efecto causal del tratamiento, a menudo se asume que para cada individuo $i$ existe una cantidad de dinero $Y_i^0$ que el individuo $i$ ganará sin tomar el curso de entrenamiento. Y también existe una cantidad de dinero $Y^1_i$ que el individuo $i$ ganará si toma el curso. El efecto causal para el individuo $i$ de la participación en el curso se define entonces como
$$\tau_i := Y_i^1- Y^0_i,$$
la diferencia en el resultado con y sin tratamiento.
Para fines de ejemplo, considera la siguiente tabla para 6 individuos:
Es claro a partir de la tabla que los individuos $i=1,2,3$ están tratados $D_i=1$ mientras que los $i=4,5,6$ no están tratados. Para aquellos que están tratados, la cantidad observada de dinero ganada por el individuo $Y_i$ es igual a $Y_i^1$. Para aquellos que no están tratados, la cantidad observada de dinero ganada $Y_i$ es igual a $Y_i^0$. En general, esto se escribe como
$$Y_i = D_i Y_i^1 + (1-D_i)Y_i^0.$$
Una parte importante de la configuración es, por lo tanto, que mientras se asume que $Y_i^1$ y $Y_i^0$ existen, no se asume que sean observados.
Sin embargo, volviendo a ATT y ATE. En el ejemplo anterior, ATE se puede calcular como
$$ATE := \frac{1}{N} \sum_i \tau_i = \frac{1}{N} \sum_i (Y_i^1 - Y_i^0) = \frac{1+1+1+0+1-1}{6} = 0.5,$$
y el efecto promedio del tratamiento de los tratados se calcula como
$$ATT := \frac{1}{N_1} \sum_i \tau_i = \frac{1}{N_1} \sum_i (Y_i^1 - Y_i^0) = \frac{1+1+1}{3} = 1.0,$$
donde $N_1 = \sum_i D_i = 3$.
En este ejemplo, ATE y ATT son numéricamente iguales, pero como se puede ver, son promedios de diferentes conjuntos de efectos causales individuales. Como tales, no necesariamente se espera que sean iguales. Intenta construir un ejemplo tú mismo donde sean diferentes simplemente cambiando el grupo de individuos tratados.
El efecto promedio del tratamiento (ATE) se utiliza cuando estamos interesados en el tratamiento promedio de toda la población, mientras que el efecto promedio del tratamiento de los tratados (ATT) se utiliza cuando solo estamos interesados en el efecto promedio del tratamiento de aquellos tratados.
No creo que el último párrafo sea correcto. Al menos contradice MHE (ver p. 14), casi siempre estamos interesados en ATT porque ATE simplemente es ATT + sesgo de selección. No puedo imaginar una situación en la que a alguien le interese tener ese sesgo de selección ahí. De hecho, el punto principal de la asignación aleatoria es hacer que ATT = ATE. Además, en la vida real tampoco podemos ver tanto $Y_i^0$ como $Y_i^1$, así que no es como si en la vida real pudiéramos elegir cuál calcular, siempre obtenemos ATE, por lo que todo lo que podemos hacer es intentar hacer que ATE sea igual a ATT.
Oh perdón, econometría en su mayoría inofensiva pensé que sabrías porque en econometría aplicada e investigación de campo es tan conocida como MWG en microeconomía
Permítanos explicar esto en el contexto de un modelo simple utilizado por Burde y Linden (2013) quienes analizaron el efecto de construir nuevas escuelas en pueblos (en lugar de hacer que los niños viajen) en los resultados académicos de los estudiantes. Ellos estimaron el siguiente modelo:
$$Y_{ijk} = _0 + _1T_k + e_{ijk}$$
Donde $Y_{ijk}$ es un resultado académico del niño $i$ en el hogar $j$ en un pueblo $k$.
Aquí el $T_k$ es una variable ficticia que indica si el pueblo obtuvo una escuela en el primer año o no, que solo puede tomar dos valores, 1 o 0.
En este escenario tendremos 2 posibles resultados condicionales
$$T_k = \begin{cases} Y_{ij1}| T_k = 1\implies Y_{ij1} = _0 + _1*1 + e_{ijk} \\ Y_{ij0}| T_k = 0 \implies Y_{ij0} = _0 + _1*0 + e_{ijk} \end{cases}$$
Ahora finalmente podemos dirigir nuestra atención a la explicación de ATE vs ATT.
Efecto Medio del Tratamiento
En este escenario, el efecto medio del tratamiento es simplemente:
$$\text{ATE}= E[Y_{ij1} - Y_{ij0}]$$
Así que es la diferencia entre los resultados potenciales, en este caso, el rendimiento académico entre los niños que tuvieron acceso a las escuelas del pueblo y los niños que no tuvieron acceso a las escuelas del pueblo.
Efecto Medio del Tratamiento en los Tratados
Ahora, cuando se trata del efecto medio del tratamiento en los tratados, esto se define como:
$$E[Y_{ij1} Y_{ij0}|T_k = 1]$$
Así que en un lenguaje sencillo y aplicado al caso anterior, esta es la diferencia en los resultados académicos potenciales entre los niños que tuvieron acceso a las escuelas del pueblo, y los niños que no tuvieron acceso a las escuelas del pueblo condicionalmente al hecho de que ambos fueron asignados a las escuelas del pueblo.
El resultado $Y_{ij0}|T_k = 1$ es esencialmente un contrafactual para $Y_{ij1}$ en un 'universo paralelo' donde exactamente las mismas personas que recibieron el tratamiento en este universo no recibirían el tratamiento. Con el ATE estás comparando niños que recibieron escuelas con otros niños que no recibieron escuelas, mientras que en ATT estás comparando niños que recibieron escuelas, con los mismos niños que recibieron escuelas en un 'universo paralelo' donde no recibieron escuelas.
Para estimar el ATT, mi entendimiento es que se incluyen todos los sujetos en el grupo de tratamiento y se comparan con los sujetos en el grupo de control que se asemejan más a los miembros del grupo de tratamiento. Esto se puede hacer a través de varios métodos, como la coincidencia exacta de sujetos en características (edad, sexo, etc.) o dándole más peso a los miembros del grupo de control según su probabilidad de pertenecer al grupo de tratamiento (ponderación inversa de la puntuación de propensión).
Soy una investigadora de ciencias sociales, por lo que mi ejemplo vendrá de estudios observacionales. Por ejemplo, considera que una universidad ofrece tutoría de cálculo a todos los estudiantes que toman el curso, pero solo algunos eligen utilizar este servicio. Quieres estimar los efectos de la tutoría, entonces puedes hacerlo de dos maneras:
ATE (Efecto Medio del Tratamiento). Este mediría el efecto que participar en la tutoría tendría en toda la población de estudiantes (tanto los que utilizaron la tutoría (1) como los que no la utilizaron (0)). Si ves un efecto positivo, entonces puedes generalizar y decir que todos los estudiantes que toman cálculo deberían utilizar los servicios de tutoría.
ATT (Efecto Medio del Tratamiento en los Tratados). Este mediría el efecto que participar en la tutoría tendría en los estudiantes que utilizaron el servicio (los tratados) o (aquellos que utilizaron la tutoría (1)). Aún puedes compararlo con aquellos que no utilizaron la tutoría (0), pero el efecto del tratamiento te dirá cómo les habría ido a los estudiantes que utilizaron la tutoría si no la hubieran utilizado.
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