Sobre la cerrazón: el espacio de las mercancías

Question

En Intriligator (2002, p. 143) encontramos la siguiente afirmación:

\begin{align} C = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_j \geq 0,~j=1,2,\ldots,n\} \subset [0,\infty)^n \end{align} Así, el espacio de la mercancía es el ortante no negativo del euclidiano $n$ -espacio, un conjunto cerrado y convexo.

Estoy bastante confundido por qué $C$ se supone que está cerrado, porque $x_j$ no está acotada por arriba. Sin embargo, podemos argumentar que $C$ es cerrado, porque su complemento \begin{align} C^c \subset (-\infty,0)^n \end{align} está abierto.

• Sin embargo, ¿no es apropiado decir que $C$ es medio -¿Cerrado? ¿Estoy haciendo un esfuerzo para que no se me olvide nada?

Answer 1

Un conjunto cerrado no necesita estar acotado. Por ejemplo, el conjunto $[0,\infty)$ es cerrado pero sin límites.

Formalmente, un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límite. Se puede comprobar fácilmente que es el caso de su $C$ . Tome una secuencia de elementos $x^m=(x_1^m,\cdots,x_n^m) \in C$ que converge a un vector $x^{*}=(x_1^{*},\cdots,x_n^{*})$ bajo cualquier topología adecuada. El $j$ -coordenada de $x^{*}$ , $x_j^{*}$ es el límite de la secuencia $x_j^{m}$ . Dado que todos los $x_j^{m}$ son números reales no negativos, también lo es el caso del límite $x_j^{*}$ . Como esto es cierto para todos los $j$ , $x^{*}$ también pertenece a $C$ .