Derivada: Delta de una Opción de Compra Down and Out con Barrera=Deuda(K)

Question

Intento calcular la derivada de esta función con respecto a V0:

Este es el precio de una opción de compra a la baja, asumiendo la barrera igual al nivel de deuda K . En otros términos, necesito calcular la Delta de esta Opción DOC, en el caso de Barrera=K (ni Barrera mayor que K ni Barrera menor que K) y no encuentro este caso en ninguna parte de la literatura. Además, la derivada de los dos primeros términos de la ecuación es igual a N(d1), el delta de una opción de compra simple. Por lo tanto, sólo necesito la derivada de lo que está en el paréntesis [...] con respecto a V_0.

¿Puede alguien ayudarme?

¡Cualquier cosa será realmente apreciada!

Answer 1

Dejemos que \begin{align*} C(S, K, t) = SN(d_1) - e^{-rt}KN(d_2) \end{align*} denotan el precio de la opción de compra Black-Scholes con valor inicial del activo $S$ , huelga $K$ y la madurez $t$ . Tenga en cuenta que \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1). \end{align*}

Para la opción de barrera anterior, tenga en cuenta que \begin{align*} E_0 &= V_0 N(d_1)-e^{-rt}KN(d_2) -\bigg[V_0 \Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2\lambda}N(d_1^B) -e^{-rt}K \Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2\lambda-2} N(d_2^B) \Big) \bigg]\\ &=C(V_0, K, t) - \Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2\lambda-2}\bigg[\frac{K^2}{V_0}N(d_1^B) -e^{-rt}K N(d_2^B) \Big) \bigg]\\ &=C(V_0, K, t) - \Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2\lambda-2} C\Big(\frac{K^2}{V_0}, K, t \Big). \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} \frac{\partial E_0}{\partial V_0} &=N(d_1) + (2\lambda-2)\frac{K^{2\lambda-2}}{V_0^{2\lambda-1}}C\Big(\frac{K^2}{V_0}, K, t \Big)-\Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2\lambda-2}\frac{\partial C\Big(\frac{K^2}{V_0}, K, t \Big)}{\partial V_0}\\ &=N(d_1) + (2\lambda-2)\frac{K^{2\lambda-2}}{V_0^{2\lambda-1}}C\Big(\frac{K^2}{V_0}, K, t \Big)+\Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2\lambda}N(d_1^B), \end{align*} desde \begin{align*} \frac{\partial C\Big(\frac{K^2}{V_0}, K, t \Big)}{\partial V_0} &= \frac{\partial C\Big(\frac{K^2}{V_0}, K, t \Big)}{\partial \frac{K^2}{V_0}}\frac{\partial \frac{K^2}{V_0}}{\partial V_0}\\ &=-\Big(\frac{K}{V_0}\Big)^{2}N(d_1^B). \end{align*}