Si el activo sin riesgo tiene una volatilidad de $0$ por lo que su media es igual al tipo sin riesgo, $r_f$ ¿significa esto que no tiene distribución de probabilidad, y por lo tanto no hay razón para modelarlo paramétricamente (es decir, con $\mathcal{N}(\cdot)$ u otros)?
¿Cómo cambia esta situación cuando dejamos de lado la suposición habitual de una constante $r_f$ ¿puesto que, empíricamente, los bancos centrales lo hacen variable en el tiempo?
La forma estándar de pensar en esto es que en el momento $t$ el activo sin riesgo le da un rendimiento conocido de $r_{f,t}$ en un corto periodo de tiempo. Sin embargo, esta tasa puede ser variable en el tiempo y estocástica, de modo que no conocemos sus valores futuros, por ejemplo $r_{f,t+s}$ . Por ejemplo, un supuesto común es que la tasa sigue un proceso de Ornstein Uhlenbeck (lo que implica que la distribución condicional es normal).
En caso de que asuma que $r_{f,t}$ es realmente constante, digamos $c$ , sigue teniendo una distribución de probabilidad. Aquí hay que definir $r_{f,t}$ como una variable aleatoria que toma el valor $c$ para todos los resultados del espacio muestral. Naturalmente, la distribución de $r_{f,t}$ es entonces tal que toda la masa de probabilidad se encuentra en este único punto: $P(r_{f,t}=c)=1$ .
Sólo para añadir a la respuesta anterior, un ejemplo de dicho activo (que devuelve la "tasa libre de riesgo") es una cuenta del mercado monetario (o bancaria), pero sólo es _localmente sin riesgo_ con un valor que se acumula continuamente a la tasa libre de riesgo que prevalece en el mercado en cada instante. Es sin riesgo sólo durante un corto período de tiempo . A largo plazo también es estocástico. Su SDE es:
$$ dB_t =r_t B_t \; dt, \; B_0 =1, $$ o, de forma equivalente, $$ B_t = \exp \left( \int_0^t r_u\; du \right), $$
donde $r_t$ es un estocástico progresivamente medible proceso con trayectorias localmente integrables, haciendo $B_t$ a variación finita proceso con variación cuadrática nula . Intuitivamente, esto significa que tiene un menor grado de aleatoriedad con respecto a los otros activos de riesgo. (En la fijación de precios de las opciones de divisas o de acciones, basándose en esta intuición, se asume incluso que depende del tiempo determinista tipo de interés).
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