Cálculo de la expectativa del error logit condicionado a la elección

Question

Consideremos un modelo de elección logit multinomial estándar. Un consumidor elige un bien $j$ de un conjunto de opciones $J$ eligiendo el bien con la mayor utilidad realizada cuando la utilidad del bien $j$ viene dada por

$$u_j = -p_j + \varepsilon_j,$$ donde $p_j$ es el precio del bien $j$ y $\varepsilon_j$ es un valor extremo de tipo I. Me interesa encontrar una fórmula de forma cerrada para el valor esperado de $\varepsilon_j$ con la condición de $j$ ser elegido, es decir, condicionado a que, para todos $k\in J \neq j$ , $$-p_j + \varepsilon_j \geq -p_k + \varepsilon_k.$$ ¿Se ha encontrado esa fórmula?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $X_j = v_j + e_j$ con $e_j$ 's ser IID tipo I extrema. Definir

$$\hat X= \max \{ X_1,...,X_J\},$$

y que $\hat X_j$ sean las variables $X_j$ condicionado a ser el máximo. Entonces, la propiedad de invariancia establece que

$$\hat X,\hat X_1,...,\hat X_J \sim F^*,$$

todos tienen la misma distribución $F^*$ . Por lo tanto, tienen la misma expectativa. De ello se desprende que

$$\mathbb E[v_j + e_j\lvert j = j^*] = \mathbb E[\hat X],$$

donde $j^*\in \arg \max_j \{ X_1,...,X_J\}$ . Por lo tanto,

$$\mathbb E[\hat X] - v_j = \mathbb E[e_j \lvert j=j^*],$$

donde $v_j$ es conocida y existe una forma cerrada analítica para $\mathbb E[\hat X]$ como la expresión estándar de la suma logarítmica.

Aquí hay una simulación en R que muestra la propiedad de invariancia

library(evd)
v_1 <- 1
v_2 <- 2

N <- 100000
Z <- matrix(rgumbel(2*N),nrow=2)
W <- Z + c(v_1,v_2)
index1 <- W[1,]>W[2,]
index2 <- W[2,]>W[1,]

mean(W[1,index1])
mean(W[2,index2])
0.5772 + log(sum(exp(c(v_1,v_2))))