Distribución de la delta total de la cartera de opciones

Question

Sabemos que el delta de un cartera de opciones es simplemente el suma de los deltas de las opciones individuales . Pero, ¿hay alguna propiedades adicionales conocidas sobre el delta total (u otros griegos) de una cartera de opciones?

Más concretamente, ¿cómo cambia la delta total de una cartera cuanto más opciones se añaden? Si hay una colección aleatoria de opciones de compra y venta sobre el mismo subyacente, pero con distintos precios y vencimientos, ¿no debería la La probabilidad de compensar los deltas aumenta ? ¿Es posible aplicar el teorema del límite central aquí para derivar algunas reglas generales cómo el griegos de dicha cartera comportarse ya que se están añadiendo más opciones a dicha cartera?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

TLDR: Es difícil porque hay interacción entre tu estrategia y los movimientos del mercado.

Si estás ejecutando una estrategia de opciones con el objetivo de obtener ciertas exposiciones a las griegas, no creo que un enfoque estadístico tenga sentido. Deberías conseguir la exposición que pretendes.

Si se trata de proporcionar liquidez, un enfoque estadístico podría tener más sentido: Al fin y al cabo, estás publicando comillas en ambos lados y recibiendo ejecuciones. Si haces un buen trabajo, consigues que se llene en ambos lados y tus posiciones se cancelan.

Sin embargo, no creo que este enfoque funcione en la práctica. Cuando el mercado se mueve, los rellenos en un lado dominarán. Esta exposición es arriesgada y no deseada, por lo que se intenta mitigarla creando cierta retroalimentación en el proceso. La naturaleza del mercado y la retroalimentación dependen del mercado específico, del momento y de sus medidas de gestión del riesgo, es decir, el proceso de retroalimentación es bastante complejo y siempre cambiante. Por ello, calcular estas estadísticas a priori parece difícil y probablemente no merezca la pena.

Por supuesto, si tiene suficientes datos puede analizar las series temporales de sus griegas y analizar esos datos, este análisis sólo es válido para su sistema. Es de esperar que el futuro no sea drásticamente diferente y que su modelo pueda utilizarse también para predecir el futuro próximo.

Answer 2

Desde un punto de vista (bastante) teórico, si todo lo que se hace es compra de puts y calls en todos los strikes $0\leq K \leq u$ hasta algún golpe máximo $u$ se están agregando los deltas de llamada correspondientes $N(d_1(K))$ y poner deltas $N(d_1(K))-1$ a través de las huelgas. Por posición de huelga, esto da lugar a un delta total de $2N(d_1(K))-1$ .

Ahora, supongamos un denso alcance de la huelga, $0\leq K \leq u$ e imponer un mundo de Black Scholes sin dividendos. Permítanme exponer dos hechos:

1. Para una variable aleatoria positiva $X$ la integral sobre su función de densidad acumulativa (fdc) en algún rango $[0,u]$ ( $u$ suficientemente grande; posiblemente infinito) es igual a su valor esperado $$E_F(X)=\int\limits_0^u1-F(x)dx$$
2. La opción delta $N(d_1(K))$ es igual a la probabilidad esperada de $S_T\geq K$ bajo la medida de stock $\hat{\mathbb{Q}}$ Por lo tanto $$N(d_1(K))=1-E_\hat{\mathbb{Q}}(\mathbb{1}_{S_T\leq K})=1-F_\hat{\mathbb{Q}}(S_T)$$

1 + 2 juntos implican $$I\equiv\int_{K=0}^uN(d_1(K))\mathrm{d}K=E_{\hat{\mathbb{Q}}}(S_T)=S_0e^{(r+\sigma^2)\tau}$$ con $r,\sigma,\tau$ el tipo de interés libre de riesgo, la volatilidad implícita y el plazo de vencimiento, por lo que la delta total de su posición sería igual a

$$ \begin{align} \Delta&=\int_{K=0}^u(2N(d_1(K))-1)\mathrm{d}K\\ &=2I-u\\ &=2S_0e^{(r+\sigma^2)\tau}-u \end{align} $$ Al fijar el límite superior $u$ se podría establecer de tal manera que $N(d_1(u))< 10^{-10}$ .