¿Puede alguien explicarle a una persona que no es buena en matemáticas (como yo) cuál es la diferencia entre estos tres? Si son tan diferentes que ni siquiera tiene sentido compararlos, por favor señálalo.
1. Proceso de Ito 2. Movimiento Browniano 3. Caminata aleatoria
Los artículos de Wikipedia son demasiado detallados (¡sí!) para mí en este momento.
Primero, para los procesos de Ito y el movimiento Browniano. El proceso de Ito es una trayectoria en tiempo continuo con evolución aleatoria, por lo tanto no suave y muy rizado, también tiene un aspecto fractal: no importa cuánto te acerques, se verá similar. El proceso de Ito consta de dos partes: la parte de deriva (evolución determinista) y la parte de difusión (de donde proviene toda la rizado y lo fractal). Si el proceso de Ito no tiene esta última parte, simplemente se verá como una trayectoria continua y suave. Por ejemplo, $y = x^2$ es un proceso de Ito de este tipo (puro derivado). En contraste, si el proceso de Ito solo tiene componente de difusión, no podrás detectarlo. Es decir, cuando está presente la componente de difusión, es difícil decir si hay una componente de deriva o no, debido al ruido que la difusión proporciona.
El movimiento Browniano es un caso especial de un proceso de Ito, y es el principal componente de la difusión. De hecho, cualquier difusión es simplemente un movimiento Browniano escalado en el tiempo. Una propiedad importante del movimiento Browniano es que sus incrementos no están correlacionado (de hecho, son independientes) mientras que en general en el proceso de Ito puede haber mucha cruz-correlación sucediendo.
Finalmente, formalmente, la caminata aleatoria es un proceso en tiempo discreto, por lo tanto no comparable con los procesos de Ito que son cosas en tiempo continuo. Por otro lado, la caminata aleatoria también debe tener incrementos independientes, por eso a veces se refiere al movimiento Browniano como una caminata aleatoria en tiempo continuo.
Suponiendo que no hay matemáticas en absoluto:
Usando un proceso Ito podemos describir el rendimiento de una acción con dos componentes: un nivel promedio (la "deriva") además de alguna incertidumbre (la "volatilidad"). Esta incertidumbre está representada por un Movimiento Browniano.
Como está escrito en Wikipedia,
Una caminata aleatoria es una formalización matemática de un camino que consiste en una sucesión de pasos aleatorios.
Puedes obtener los pasos aleatorios lanzando una moneda n veces. Si sale cara, sube un paso; si sale cruz, baja un paso. Esta es la "caminata aleatoria simétrica." Puedes obtener un Movimiento Browniano a partir de la caminata aleatoria simétrica usando un poco de maquinaria matemática.
Un Movimiento Browniano es una serie temporal continua de variables aleatorias cuyos incrementos son i.i.d. distribuidos normalmente con media 0.
Un Proceso Ito es un Movimiento Browniano con media posiblemente distinta de cero.
Una caminata aleatoria es un proceso discreto cuyos incrementos son +/-1 con igual probabilidad.
Hubiera agregado esto como un comentario a una de las respuestas, pero no tengo suficiente reputación para hacerlo. Recomiendo las siguientes conferencias para esto (al menos me han sido bastante útiles):
Desde el canal Maths Partner: Comenzando en Building Brownian Motion from a Random Walk y siguiendo con los videos hasta "Derivation of Ito's Lemma"
Desde MIT OpenCourseWare: Stochastic Processes I y Stochastic Processes II
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