Modelo binomial en la teoría del arbitraje en tiempo continuo de Björk

Question

Estoy teniendo algunos problemas con la variable $Z$ introducido en el capítulo $2$ en el texto de Björk. Al principio, es la variable aleatoria la que alcanza $u$ resp. $d$ con probabilidades $p_{1}$ y $p_{2}$ es decir, las probabilidades reales de que las acciones suban o bajen.

Sin embargo, más adelante parece que asume que $Z$ alcanza $u$ resp. $d$ con probabilidades relacionadas con la medida martingala $\mathbb{Q}$ .

Por lo que veo, no tienen por qué ser los mismos. De hecho, $u$ y $d$ determinar $q_{1}$ y $q_{2}$ pero $u$ y $d$ se fijan desde el principio y, por tanto, no pueden elegirse libremente.

¿Es correcta esta observación? Si es correcta, ¿puede alguien explicar por qué es razonable?

Answer 1

Esencialmente se reduce a: misma variable aleatoria, diferentes medidas de probabilidad. Así que cuando se establece u y d, se fijan los valores que puede tomar la variable aleatoria. La Medida de Probabilidad no cambia eso - sólo repesa la probabilidad de una manera.

La probabilidad $p_1$ y $p_2$ son las probabilidades de los dos estados bajo la medida P(física), y estos mismos estados tienen probabilidades $q_1$ y $q_2$ bajo la medida Q(neutral al riesgo).

En los libros de texto, cuando se introduce el modelo binomial, se supone que u y d están dados, pero habrá que calibrarlos en función de los precios del mercado, al igual que se calibra la volatilidad del proceso geométrico browniano como en el modelo Black scholes.