¿Cuál es la intuición del Teorema de la Utilidad Esperada?

Question

Me refiero a la definición de la proposición 6.B.3 de la página 176 de Mas Colell . Sigo la demostración formal y la aplicación del axioma de Independencia en varios pasos (aplicación matemática de la definición), pero me cuesta entender la intuición detrás del Teorema de la Utilidad Esperada y el uso del axioma de Independencia como supuesto central.

Mi comprensión básica es que utilizamos el teorema de la utilidad esperada para ayudar a tomar decisiones cuando la diferencia de probabilidades entre dos loterías es muy baja. ¿Estamos utilizando el axioma de la independencia para mezclar nuestras dos loterías con la tercera, para ayudar a tomar una decisión sobre la elección de la lotería, ya que la relación de preferencia sobre las loterías seguiría siendo preservada porque es independiente de cualquier tercera lotería? ¿Hay otros usos?

En general, sólo estoy tratando de conseguir una mejor comprensión de este concepto por lo que soy capaz de replicar esta prueba de forma natural con facilidad.

Answer 1

El teorema de la utilidad esperada (TUE), en primer lugar, establece una representación de la utilidad de la preferencia sobre las loterías. Esto es similar al establecimiento de la representación de la utilidad de la preferencia sobre paquetes de consumo deterministas en la teoría del consumidor. La representación (en ambos casos) es valiosa porque nos da herramientas como el álgebra y el cálculo para hacer análisis posteriores.

En segundo lugar, el EUT proporciona una forma funcional muy específica, es decir, el forma de utilidad esperada (Def 6.B.5), que es lineal en las probabilidades. Este resultado se debe principalmente al axioma de independencia (véase el paso 5 de la prueba de MWG).

En cuanto al uso del EUT, en lugar de pensar en cómo se utiliza cada axioma (por ejemplo, la independencia) para evaluar las loterías, yo vería todos los axiomas como un paquete. Cuando se dan dos loterías $L$ y $L'$ Los pondría a través de la función de utilidad esperada $U(\cdot)$ que da el EUT y clasificarlos en función de la salida de $U(\cdot)$ . Es lo mismo que utilizar funciones de utilidad ordinarias para evaluar la conveniencia de diferentes paquetes de consumo en la teoría del consumidor.

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A pesar de lo dicho en el párrafo anterior, es cierto que el axioma de independencia desempeña un papel más importante tanto en la obtención del resultado EUT como en la limitación de su aplicabilidad.

Como has señalado en los comentarios, la independencia restringe el conjunto de curvas de indiferencia para que sean lineales y paralelas. Se ha demostrado que esto es inconsistente con muchos comportamientos observados empíricamente, sobre todo con la paradoja de Allais. Gran parte de lo que conocemos como economía del comportamiento comenzó como intentos de abordar inconsistencias de este tipo. Le señalo Burghart (2020) que descompone la independencia en una parte que da linealidad (que el autor llama " homotecia ") y otra parte que da paralelismo (" entre "), y demuestra que estas dos partes son necesarias y suficientes para la independencia.

Volviendo a sus raíces, la importancia del axioma de independencia radica en sus implicaciones para la teoría de juegos. Por ejemplo, Crawford (1990) muestra que, sin la independencia como propiedad de la preferencia subyacente, el equilibrio de Nash puede no existir.

Answer 2

No utilizamos la EUT para comparar loterías con probabilidades cercanas, excepto si estamos resolviendo un ejercicio que implique una pregunta del tipo de la paradoja de Allais. En realidad, no utilice en absoluto si no somos teóricos que intentan demostrar algo.

La EUT te dice que si tienes preferencias sobre las loterías que satisfacen los axiomas básicos, incluyendo la independencia, entonces existe una función de utilidad (Bernoulli) sobre los premios tal que eliges entre las loterías de una manera como si las evaluaras por su esperado utilidad.

La razón es que la independencia garantiza que, geométricamente hablando, sus curvas de indiferencia en el espacio de las loterías son líneas paralelas (para el caso ilustrativo de tres premios). Esto, a su vez, implica que el gráfico de su función de utilidad sobre las loterías (su función de utilidad vNM) es un plano, lo que significa que esta función de utilidad es lineal en las probabilidades. Entonces es fácil demostrar que la linealidad en las probabilidades implica que se puede escribir como una función de utilidad esperada sobre los premios.

El EUT justifica así la suposición habitual en los modelos económicos de que los agentes que se enfrentan al riesgo maximizan la utilidad esperada, lo que de otro modo no sería más que una suposición ad hoc cuestionable.