Cálculo de la tasa de supervivencia en tiempo continuo

Question

Tenemos una población de personas con diferentes edades $a$ el tiempo se indexa con $t$ . Hay un ritmo de muerte de las personas, $d(a, t)$ . Para simplificar, ignora los nacimientos. Quiero calcular la evolución de la distribución de las edades en el tiempo.

Dejemos que $m(a, t)$ denotan la masa de personas a la edad $a$ y punto en el tiempo $t$ . Empezaré con una aproximación en tiempo discreto y dejaré que $\Delta$ se reduce a cero. En cada punto discreto en el tiempo,

$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))m(a, t)$$

donde $P(a, t) = exp(-d(a,t)\Delta)$ es el análogo en tiempo discreto de $d(a,t)$ . Como voy a dejar $\Delta\to 0$ Puedo aproximar $P$ con $(1-\Delta d)$ :

$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = \Delta d(a,t)m(a, t)$$

Edición Ya aquí me cuesta entender lo que ha pasado: $\Delta d(a,t)$ denota la masa de personas que murieron durante $\Delta$ a la edad de $a$ y el tiempo $t$ . ¿No debería ser esto negativamente afectando a la masa de gente viva? Esperaba algo parecido a

$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = (1- \Delta d(a,t))m(a, t)$$

Answer 1

Creo que el paso

"...donde $P(a, t) = exp(-d(a,t)\Delta)$ es el análogo en tiempo discreto de $d(a,t)$ ..."

es el problema.

En tiempo continuo supongo que tenemos

$$\dot m(a,t) = -d(a,t)m(a,t) \implies m(a,t) = m_0\exp \{-d(a,t)t\}$$

Entonces tenemos, discretizando,

$$\frac {m(a,t+\Delta) - m(a,t)}{m(a,t)} = \frac {\exp \{-d(a,t)(t+\Delta)\}-\exp \{-d(a,t)t\}}{\exp \{-d(a,t)t\}}$$

$$=\exp \{-d(a,t)\Delta\}-1 \approx -d(a,t)$$

$$\implies d(a,t) \approx 1-\exp \{-d(a,t)\Delta\}$$

Así que debería ser $P(a, t) = 1-\exp(-d(a,t)\Delta)$ . Ahora $a$ cambia exactamente de la misma manera que $t$ hace (en $t+\Delta$ los mayores de edad $a$ en $t$ será mayor de edad $a+\Delta$ ). Así que $m$ cambios en ambos argumentos juntos.

$$m(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))m(a, t) = \exp(-d(a,t)\Delta m(a, t)$$

$$\approx [1-d(a,t)\Delta]m(a, t)$$

Entiendo la parte izquierda como "la gente que era mayor de edad $a$ en el momento $t$ y siguen vivos en el momento $t+\Delta$ donde han llegado a la mayoría de edad $a+\Delta$ . ¿Es esto lo que buscas?