¿Cuánto debemos apostar en el head/tail con un bankroll de 1 millón de dólares?

Question

Me hicieron esta pregunta en una entrevista sobre comercio: ¿cuánto apostarías? en un juego en el que ganas 300 a la cola y pierdes tus 100 a la cara ¿cuánto vas a apostar? si sabes jugar una vez o varias veces ¿con un fondo de un millón de dólares?

Esto es lo que pienso y me preguntaba si esto es correcto o hay una mejor manera de responder:
En una apuesta de 1, nuestra ganancia esperada es 1 y la desviación estándar es 2, por lo que el sharpe es 0,5. Dado que necesitamos arriesgar 1 para ganar 3, tenemos probabilidades de 3 a 1 y, por tanto, necesitamos ganar sólo el 25% de las veces para alcanzar el punto de equilibrio. Este es realmente un juego de alta EV para nosotros y debemos apostar "una cantidad alta".

Utilizando el criterio de Kelly, f= (bp - q) / b da como resultado f= (3*0,5 - 0,5) / 3 = 1/3. Este es el tamaño teórico de la apuesta para maximizar la tasa de crecimiento esperada de su riqueza.

Así que aquí deberíamos apostar 1/3 de nuestro bankroll si podemos jugar el juego una vez. Yo apostaría menos si podemos jugarlo varias veces ya que perderíamos mucho EV en el futuro si nos arruinamos. He dicho 1/10 si no podemos cambiar el tamaño de la apuesta, ¿tiene esto sentido y cómo podemos cuantificar el tamaño de la apuesta aquí para el escenario de múltiples juegos. Teóricamente, Kelly dice que deberíamos apostar lo mismo aquí 1/3?

Hubo una pregunta similar aquí pero no aborda el escenario de los juegos múltiples. Gracias.

Answer 1

Creo que lo tienes al revés en cuanto a cuánto apostar si juegas una vez frente a muchas veces. La cantidad óptima a apostar viene dada por el criterio de Kelly como has dicho. Pero deberías estar MÁS inclinado a apostar más cerca de la fracción óptima de Kelly si consigues jugar muchas veces. Cuanto más juegue, más se acercará su resultado al resultado esperado (que es donde está su ventaja). Si sólo juegas una vez, Kelly no tiene nada que decirte.

Answer 2

Para el juego continuo, generalmente se quiere maximizar la rentabilidad logarítmica esperada (tasa de crecimiento media en el tiempo bajo la dinámica geométrica de la riqueza) condicionada a no quebrar. Esto es básicamente la configuración de Kelly sin la aproximación.

Asume que puedes apostar cantidades fraccionarias para simplificar:

In [62]: import sympy as s

In [63]: J = s.log(1 + a * (3 - 1)) * 0.5 + s.log(1 + a * (0 - 1)) * 0.5

In [64]: dJ = s.diff(J, a)

In [65]: a_star = s.solve(dJ, a)[0]

In [66]: a_star
Out[66]: 0.250000000000000

In [67]: J.replace(a, a_star - 0.1)
Out[67]: 0.0499226674848581

In [68]: J.replace(a, a_star + 0.1)
Out[68]: 0.0499226674848581

In [69]: J.replace(a, a_star)
Out[69]: 0.0588915178281917

Por lo tanto, es el 0,25 de su riqueza en cada momento de la apuesta.

Para el caso de una sola apuesta, es un mandato un poco extraño, pero si su mandato es literalmente sólo maximizar el pago esperado, perder hasta todo el bankroll entonces, ya que el pago es sólo $1 + 0.5 a$ deberías apostarlo todo.