El comercio de la entrevista de juego de azar pregunta

Question

Usted está invitado a un uno-a-uno de la moneda-flip juego de azar. Tu oponente tiene 1 millón de DÓLARES en la mano (el máximo que se puede apostar es de 1 millón de DÓLARES). Los pagos para voltear las cabezas y las colas son como sigue:

• Tails: Usted gana 2x su apuesta.
• Cabezas: pierde toda su apuesta.

Este juego es un one-off jugar; no hay segundas oportunidades. ¿Cuánto apuesta?

(Esto es de un comercial de la entrevista por lo que probablemente implica la elección de la derecha de riesgo-recompensa. Hay una respuesta correcta? O es esta una cuestión subjetiva?)

Answer 1

Un enfoque alternativo es el tamaño de su apuesta para maximizar su utilidad esperada, que se asume como dada por una función $u(w)$ de su riqueza total $w$. Esto podría ser un método mejor que utilizando el criterio de Kelly, debido a que el Kelly de la fracción da la cantidad de la apuesta si usted quiere maximizar su crecimiento a largo plazo de la tasa, suponiendo que se apuesta a un gran número de veces, pero en este caso se dice que sólo tienes una oportunidad para apostar.

Si usted apuesta una fracción $x$ de su bankroll, usted tendrá $1+2x$ si usted gana $1-x$ si usted pierde, por lo que su utilidad esperada es

$$ \tfrac{1}{2}u(1 + 2x) + \tfrac{1}{2}u(1 - x) $$

La maximización de esto es equivalente a la maximización de $u(1+2x) + u(1-x)$. En el caso especial de registro de la utilidad de $u(w)=\log w$ que usted requiere

$$ \frac{d}{dx} \left( \log(1+2x) + \log(1-x) \right) = \frac{2}{1+2x} - \frac{1}{1-x} = 0 $$

que se puede resolver a dar $x = 1/4$, la misma respuesta que si usted utiliza Kelly apuestas para maximizar su crecimiento a largo plazo. Otras funciones de utilidad dará resultados diferentes.

Answer 2

El criterio de Kelly da la fracción, $f$, de la actual bankroll apostar con el fin de maximizar el crecimiento a largo plazo. El criterio está dado por $$ f = \frac{bp-q}{b}, $$ donde $b$ es las ganancias recibidas en \apuesta de$1, $p$ es la probabilidad de ganar, y $q=1-p$ es la probabilidad de perder la apuesta de \$1.

En su caso $b=2$, $p=q=0.5$ por lo que la fracción óptima para la apuesta es $$ f = \frac{2\cdot0.5-0.5}{2} = 0.25. $$ Que es el 25% de sus fondos o \$250k.