Por qué la Gamma comparte una relación inversa con la volatilidad

Question

En este Tutorial de TOS

En la página 3:

Tom Preston: La gamma aumenta cuando la opción está en el dinero, el opción está cerca del vencimiento o la volatilidad es baja

Estoy confundido sobre la parte de "la volatilidad es baja". Cuando la volatilidad es alta, parece intuir que el subyacente dará saltos, por lo que la delta también saltará bastante, tal vez pasando de +ve a -ve y viceversa muy rápidamente.

Así que esto significa, un aumento de la gamma, ¿no es así?

Answer 1

Para ello, es importante averiguar qué es delta, gamma, etc. Gamma es la derivada de delta, que es la derivada parcial del valor en relación con el precio al contado, así que es la tasa de cambio de una tasa de cambio, delta relacionando cómo los cambios en el precio afectarían al valor, y gamma relacionando cómo cambia delta a medida que cambia el precio.

Esto puede ser un poco difícil de conceptualizar sin tomar algo de cálculo así que en lugar de tratar de racionalizarlo con algo que tenga sentido intuitivo lo más fácil es mirar las ecuaciones...

Delta es N(d1) y d1 incluye la volatilidad, pero a menos que la ecuación para N() parece simple para ti, creo que vale la pena admitir que probablemente te costará entender lo que es "intuitivo" en la relación. Dado que delta incluye la volatilidad como un factor (en d1), independientemente de si la volatilidad es alta o baja, siempre que el cambio de precio tenga un efecto proporcional en el valor esperado, entonces delta puede no estar saltando tanto como usted piensa. Lo que hay que tener en cuenta para delta es que mide en qué medida un cambio marginal en el precio afectará a un cambio marginal en el valor. Así, si todo lo demás fuera igual, si el precio subiera en $1 and delta was 0.5, the value should increase by ~$ 0.5.

Para la gamma, la gamma es la rapidez con la que cambia delta con respecto al precio subyacente. Así que si pensabas que era difícil conseguir una comprensión intuitiva de delta, ¡esto es un paso más! Es importante tener en cuenta que la volatilidad mide los cambios del precio a lo largo del tiempo, por lo que la relación entre ésta y delta/gamma no es del todo sencilla. En lugar de intentar dar una explicación intuitiva de por qué ocurre esto, es más fácil mirar las ecuaciones y luego trabajar a partir de eso.

Así que Gamma es esto:

σ es la volatilidad. Como forma parte del denominador, cuando aumenta, la gamma disminuye, y viceversa. Así que, básicamente, cuando la volatilidad aumenta, delta no va a cambiar tan rápido, y cuando la volatilidad es baja, delta va a cambiar más rápido. Este es el resultado natural de la propia ecuación de Black-Scholes.

Tiene sentido si lo piensas: si el precio tiende a cambiar mucho y rápidamente, no deberías esperar que el valor cambie mucho la forma en que sigue al precio: la volatilidad ya estará "descontada", así que para cualquier cambio marginal en el precio no deberías esperar que la delta cambie tanto. Sin embargo, si el precio no se mueve mucho, un solo movimiento en el precio podría señalar mucho más, por lo que tiene sentido que delta en ese caso sea más sensible a los movimientos del precio.

Answer 2

Algunas notas adicionales:

1. El vol entra en la BS siempre en el producto sigma^2 * T. Por lo tanto, la "influencia" de sigma debe ser de la misma manera que la influencia del tiempo hasta el vencimiento (a menos que sea abrumado por las tasas, que se ven afectadas por el tiempo, pero no por el vol).

2. Cuando el vol es pequeño (o, de hecho, el tiempo hasta el vencimiento es pequeño), la opción prácticamente no tiene valor cuando S está por debajo del strike (por tanto, delta = 0), pero prácticamente es un avance cuando S está por encima del strike (por tanto, delta = 1). En otras palabras, delta cambia muy rápidamente en las proximidades del strike. Eso le da una gran gamma.

3. A la inversa, si la vol va al infinito, entonces el precio de la llamada es básicamente S. Por lo tanto, delta se mantiene en 1, y gamma es cero.