Construcción del "Butterfly Spread" como suma de opciones de compra

Question

He expuesto rigurosamente mi problema aquí .

Se trata de expresar un spread mariposa [sin gastos de transacción] como una suma de opciones de compra largas y cortas.

He encontrado la solución en Wikipedia : $$\big(K-|V-a|\big)^+ = \big(V-(a+K)\big)^+ + \big(V-(a-K)\big)^+ - 2\big(V-a\big)^+,$$ para el subyacente $V$ , $K>0$ y $a\in \mathbb{R}$ . Sin embargo, en el libro [Föllmer, Schied] es un ejercicio para llegar a las opciones de compra largas y cortas [es decir, el lado derecho] sin ninguna pista. Para mí, resultó ser irresoluble de forma constructiva.

¿Podría alguien ser capaz de llegar a esto por sí mismo? ¿Qué me falta?

Crossposting con la esperanza de encontrar gente que haya pensado en esto antes.

Gracias por leer.

Answer 1

Si estás reconstruyendo un pago como una suma lineal de opciones de compra, entonces el procedimiento es bastante sencillo -> ya que el pago de una opción de compra es cero hasta el strike, y luego lineal, empiezas por la izquierda (es decir, el valor más negativo) y te mueves hacia la derecha.

ejemplo 1: spread de mariposa largo, huelgas de 80, 100, 120.

1. Empieza en cero. El gradiente de la remuneración es cero: no hay llamadas de strike cero.
2. Pasamos al siguiente cambio de gradiente: 80. El gradiente es ahora 1, por lo que debemos estar largos en 1 call al strike 80.
3. Pasamos al siguiente cambio de gradiente: 100. El gradiente es ahora -1, pero el gradiente de nuestra cartera actual de opciones de compra es 1, puesto que ya tenemos una opción de compra a un precio inferior. Solución: vender 2 opciones de compra, el gradiente de la cartera es ahora -1.
4. Pasar al siguiente cambio de gradiente: 120. El gradiente es ahora cero, pero el gradiente de nuestra cartera actual de opciones de compra es -1, puesto que ya tenemos una opción de compra (neta) negativa a un precio inferior. Solución: comprar 1 call, el gradiente de la cartera es ahora 0.

Resultado: larga una opción de compra de 80, corta dos opciones de compra de 100, larga una opción de compra de 120.

Se puede aplicar la misma lógica a cualquier pago europeo (continuo).

Ejemplo tonto: venta larga, strike 100.

1. Empieza en cero. El gradiente de la ganancia es de -1.
2. pasar al siguiente cambio de gradiente: 100. el pago es ahora plano, por lo que debemos comprar una opción de compra de 100 para aplanar el gradiente de nuestra cartera de opciones de compra.

resultado: corto 1 call de strike cero, largo un call de strike 100. nótese que un call de strike cero es lo mismo que mantener la acción - estamos diciendo que un put es equivalente a un call más una posición corta en la acción -> es decir, paridad put call.