Considere $t_0<t<T$ con $t_0=0$ (fecha de hoy) y el pago estándar de una opción de compra a plazo vainilla de inicio,
$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$ , con huelga $K$ .
Si el precio de esta opción cotiza hoy en $t_0$ entonces podemos inferir algún tipo de volatilidad implícita de Black-Scholes $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ para el que el precio de la BS correspondiente coincide con el precio de mercado (a $t_0$ ).
Ahora, denotemos la volatilidad implícita del BS en el momento $t$ de una opción de compra con el pago anterior por $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$ . Obviamente, desde el punto de vista de $t_0$ esto es desconocido ya que las comillas del mercado para la fecha $t$ todavía no existen.
Mi pregunta es cómo $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ relacionarse con lo desconocido $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$ ? ¿La primera es sólo una representación de la segunda?
Soy consciente de que la respuesta puede ser obvia, pero estoy intentando convencerme y entender mejor los conceptos de la bibliografía. Se agradece cualquier referencia/documento de fácil lectura que aclare todo lo anterior.
