Arbitraje de huelga

Question

En el capítulo 2 de la publicación titulada Stochastic Volatility Modelling, el autor deriva la ecuación de Dupire $$\mathbb{E}[\sigma_T^2|S_T = K] = 2\frac{\frac{dC}{dT} + qC +(r-q)K\frac{dC}{dK}}{K^2 \frac{d^2C}{dK^2}}.$$

El autor habló de su denominador: vinculó el denominador a una estrategia de mariposa. Entonces no puedo entender las siguientes partes:

1. Los mercados de opciones se arbitran lo suficientemente bien como para que los spreads de mariposa no tengan precios negativos:3 el denominador en la fórmula de Dupire es positivo.

2. En un modelo, $\frac{d^2C(K,T)}{dK^2} = e^{-rT}\mathbb{E}[\delta(S_T - K)]$ , donde $\delta(\cdot)$ denota la función delta de Dirac. La condición $\frac{d^2C(K,T)}{dK^2} > 0$ equivale a exigir que el mercado densidad implícita (¿cuál es la densidad implícita?) sea positiva.

Cualquier comentario o consejo será muy apreciado. Gracias por su tiempo y ayuda.

Answer 1

Si ${\frac {\partial^2 C} {\partial K ^2}}$ fuera cero, entonces la curva de precio y demanda sería simplemente una línea recta inclinada hacia abajo, y costaría lo mismo comprar dos opciones de compra al strike $K$ (cartera A), o una opción cada una al strike $K-1$ y la huelga $K+1$ (cartera B).

Si se piensa en los pagos al vencimiento donde spot= $S_t$ de estas dos carteras, verá que son las mismas para $S_t < K-1$ (es decir, ambos pagos son 0) y lo mismo para $S_t > K+1$ (es decir, ambos pagos son $2(S_t - K)$ ). PERO, entre $K-1 < S_t < K+1$ la cartera B siempre paga más, porque la opción con strike $K-1$ está en el dinero más temprano.

A continuación muestro algunos gráficos de esto. Lo que esto significa es que la cartera B debe costar más que la cartera A en un mercado con precios justos, y si piensas en la forma de la curva de precio vs. strike, significa que debe ser cóncava (es decir. ${\frac {\partial^2 C} {\partial K ^2}} > 0$ ).

Answer 2

Para el segundo pregunta:

La densidad implícita es la función de densidad contra la que integramos los pagos de las llamadas para que coincidan con los precios de las llamadas del mercado, denotada como $f$ aquí.

Así que, ignorando los factores de descuento, la respuesta viene de las propiedades de la función delta de Dirac:

$$ \mathbf{E}[\delta(S-K)] = \int_{-\infty}^\infty \delta(S-K)f(S) dS = f(K) $$

Alternativamente:

$$ C = C(K) = \int_K^\infty (S-K)f(S) dS $$

$$\frac{\partial C}{\partial K} = \frac{\partial }{\partial K} \left(\int_K^\infty (S-K)f(S) dS \right) $$

$$ = \int_K^\infty \frac{\partial }{\partial K}\left((S-K)f(S)\right)dS - (K-K)f(K) $$

$$ = - \int_K^\infty f(S)dS $$

Entonces:

$$ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} = \frac{\partial C}{\partial K} \left( - \int_K^\infty f(S)dS\right) = \left[-f(S)\right]\bigl\vert_{S=K}^{S=\infty} = f(K)$$