¿Por qué ajustamos las superficies de volatilidad implícita de un modelo de fijación de precios de opciones a los datos empíricos?

Question

Según mi entendimiento la superficie de volatilidad está compuesta de 2 componentes, la inclinación/sonrisa de volatilidad y la estructura temporal de volatilidad. Juntas forman algo como

La volatilidad implícita es básicamente un resultado del modelo Black-Scholes cuando se empareja con el precio de la opción existente. La volatilidad implícita también implica las diferencias de distribución usadas en el modelo Black-Scholes (pero eso no es importante en esta pregunta).

Aquí vienen las preguntas:

1. Dado que el modelo se basa en el mismo activo subyacente, debe tener la misma volatilidad subyacente. Entonces, SI el modelo es correcto, es decir, todas las suposiciones del modelo son correctas, devolverá una superficie de volatilidad plana. Sin sonrisa, sin inclinación, sin curvatura implicada por la estructura temporal de volatilidad. ¿La Figura 1 será plana como un papel plano?
2. Después de revisar algunos textos relacionados con las superficies de volatilidad y algunos artículos sobre avances en la fijación de precios de opciones, he notado que los autores están comparando la superficie de volatilidad implícita del modelo con la volatilidad implícita en la primera figura de este hilo, es decir, comparando si el modelo se ajusta a la superficie de volatilidad implícita empírica. Mi pregunta es esta: ¿no deberían los autores intentar obtener una superficie de volatilidad plana como se describe en la primera pregunta, ya que indicará que el modelo es consistente con los precios de mercado? Definitivamente me estoy perdiendo algo aquí :(
3. Otra confusión que podría aclararse si entiendo las dos primeras preguntas (¿no sé?) es la forma de ajustar un modelo de fijación de precios de opciones. Por ejemplo, para ajustar el modelo Heston, normalmente extraemos los precios empíricos del mercado mismo y utilizamos algunos algoritmos para minimizar los errores del modelo y obtener los parámetros requeridos. Desde aquí podemos comparar los modelos comparando las superficies de volatilidad que ha generado el modelo Heston vs. las superficies de volatilidad empírica generadas a partir de Black Scholes. Dado que el modelo Heston es un modelo de volatilidad estocástica, por definición, no se puede obtener la volatilidad de su modelo. Una pregunta similar es de Confusión con sonrisas de volatilidad implícitas por diferentes modelos. No entiendo una de las respuestas que dice:

En el contexto de la fijación de precios de opciones, "volatilidad implícita" siempre se refiere al coeficiente de difusión equivalente en la dinámica de movimiento Browniano geométrico (GBM) que es necesario para igualar un precio observado de opción europea de vainilla para una determinada huelga y vencimiento.

Escoges algún modelo de fijación de precios como los mencionados en tu pregunta. Fijas los parámetros del modelo. Bajo la dinámica y parámetros del modelo dados valoras los precios de opciones europeas de vainilla para todas las huelgas del vencimiento de interés. Finalmente, tratas estos precios del modelo como los insumos observados para tu cálculo de volatilidad implícita. Es decir, calculas la volatilidad equivalente de GBM de maner a que los precios del modelo previamente calculados coincidan.

Aquí hay una página de "The volatility surface, A Practitioner's Guide by Jim Gatheral" para ilustrar mi segunda pregunta

¿Alguien podría por favor aclarar mis confusiones sobre estas varias preguntas? Apreciaría mucho cualquier esfuerzo o intento de aclarar mi confusión sobre este tema :(

Answer 1

1. Sí, eso es lo que deseamos ver del modelo correctamente especificado.

Ahora, intentaré responder tus preguntas 2 y 3 juntas, ya que se basan en la misma confusión. Hay dos conceptos diferentes: la volatilidad implícita del modelo y la VBIS (Volatilidad Implícita Black-Scholes) implícita del modelo. Creo que estás confundido porque los estás mezclando.

Así que sí, las personas intentan obtener una superficie de volatilidad plana de las volatilidades implícitas del modelo, pero no de la VBIS implícita del modelo. De hecho, la superficie VBIS se basa en observables del mercado, por lo que está empíricamente fijada en un momento dado.

Respecto al ajuste. Para obtener los parámetros del modelo, básicamente quieres minimizar la distancia entre los precios observados de las opciones y los precios de las opciones implícitas del modelo, es decir, los precios de las opciones generados por tu modelo para un conjunto dado de parámetros. Sin embargo, algunos precios de opciones son bajos y otros son altos para la misma acción subyacente (por ejemplo, las opciones OTM típicamente valen menos que sus contrapartes ITM). Por lo tanto, al minimizar la distancia entre los precios de opciones observados y los precios implícitos del modelo, pondrás más peso en opciones más caras, lo que sesga tus estimaciones de parámetros. Así que lo que hacen las personas es minimizar la distancia entre las VBIS de los precios de las opciones observadas y los precios de las opciones implícitas del modelo. Es decir, ajustar una superficie de VBIS (pero no una superficie de volatilidad implícita del modelo) generada a partir del modelo a la que "observamos" en el mercado. ¿Por qué? Porque la VBIS es una transformación monótona de los precios de las opciones en términos monetarios, por lo que es equivalente minimizar la distancia entre los precios regulares de las opciones. Además, la transformación de VBIS es una forma de estandarizar los precios de las opciones en el sentido de que no tienes una diferencia tan considerable entre la VBIS implícita del modelo en relación con las diferencias en los precios de las opciones.

Volviendo a tu segundo punto. Por la misma razón, las personas comparan la superficie de VBIS implícita del modelo (pero no la superficie de volatilidad implícita del modelo) con la VBIS observada en el mercado, ya que es similar a comparar qué tan bien se ajusta un modelo de precios de opciones a los precios de opciones, pero expresado en términos de VBIS en lugar de en términos monetarios. Esto es especialmente conveniente cuando deseas, por ejemplo, comparar un ajuste de modelo de fijación de precios de opciones a opciones negociadas en diferentes monedas, ya que expresadas en términos de VBIS serían libres de moneda.

Espero que esto ayude