Confusión con las sonrisas de volatilidad implícitas por diferentes modelos

Question

Estoy leyendo un libro "Los conceptos y la práctica de las finanzas matemáticas" de Mark Joshi. En el Capítulo 18 habla sobre las formas y dinámicas de las sonrisas en diferentes modelos. No entiendo qué se entiende por "sonrisa implícita por un modelo".

Según entiendo, dado una opción de vainilla con una madurez fija $T$ y un precio de ejercicio $K$, la volatilidad implícita se define como el valor del parámetro $\sigma$ que necesitamos ingresar en la fórmula de Black-Scholes para obtener el precio observado en el mercado. Repitiendo esto para diferentes precios de ejercicio, obtenemos la sonrisa como una función de $K$.

Corríjanme si estoy equivocado, pero las volatilidades implícitas siempre se entienden como arriba y se relacionan con el modelo de Black-Scholes. En este caso, ¿alguien puede darme una definición de "sonrisa implícita por un modelo" para un modelo más general?

Por ejemplo, Joshi discute las sonrisas del modelo de volatilidad estocástica:

$$\frac{dS}{S} = \mu dt + V^{1/2} dW^{(1)},$$ $$ dV = \lambda (V_r - V) dt + \sigma_V V^\alpha dW^{(2)}.$$

Lo que me confunde totalmente es cuando habla sobre la sonrisa implícita por este modelo. Se nos permite calibrar cualquiera de los parámetros $\alpha$, $\lambda$, $V_r$ y $\sigma_V$ para que el modelo coincida con los precios de mercado, pero la volatilidad de la acción es un proceso estocástico, por lo que no hay forma de introducir una "volatilidad implícita".

Tengo una confusión similar en el caso de los saltos-difusiones o el modelo de varianza gamma. Podría haber incluso más parámetros y el conjunto de soluciones que da el precio de mercado sería multidimensional. Sin mencionar el hecho de que la volatilidad de la acción no puede ser un parámetro.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

En el contexto de la fijación de opciones, la "volatilidad implícita" siempre se refiere al coeficiente de difusión equivalente en la dinámica del movimiento Browniano geométrico (GBM) que es necesario para igualar un precio observado de una opción europea de vainilla para una huelga y vencimiento dados.

Cuando se habla de "sonrisa de volatilidad implícita del modelo", se refiere a lo siguiente:

1. Escoges algún modelo de fijación de precios como los mencionados en tu pregunta.
2. Defines los parámetros del modelo.
3. Bajo la dinámica y parámetros dados del modelo, valoras los precios de opciones europeas de vainilla para todas las huelgas del vencimiento de interés.
4. Finalmente, tratas estos precios del modelo como los datos observados para tu cálculo de volatilidad implícita. Es decir, calculas la volatilidad equivalente de GBM de modo que los precios del modelo previamente calculados sean igualados.

Answer 2

Solo quería señalar algunos pequeños problemas en tu declaración y tal vez ayudar con el modelo conceptual de estas fórmulas.

La volatilidad implícita se define como el valor del parámetro que necesitamos ingresar en la fórmula de Black-Scholes para obtener el precio observado en el mercado.

En realidad, eso está al revés. La volatilidad implícita en realidad se piensa mejor como el resultado principal y luego invertimos la fórmula con fines de modelado.

El precio es un hecho fundamental. El precio es lo que es y una fórmula no cambia eso. Es mejor reformular tu declaración anterior a algo como esto;

Dada una opción de vainilla con una madurez fija T y un precio de ejercicio K, la volatilidad implícita se deriva del precio de la opción como la distribución de probabilidad neutra al riesgo descrita por el parámetro utilizando la fórmula de Black-Scholes (u otra). Repitiendo esto para diferentes precios de ejercicio, obtenemos la volatilidad implícita de cada precio de ejercicio basada en su propio precio, lo que lleva a la formación de la Sonrisa de volatilidad.

A menudo usamos la VI como entrada, pero eso es simplemente con el propósito de modelar lo que podría suceder con los precios de las opciones a medida que cambian los factores.

Existen numerosas razones para los efectos de la Sonrisa. La razón principal sería que cada modelo de precios de opciones que es capaz de describir la Volatilidad Implícita se basa en alguna forma de distribución de probabilidad implícita o explícita como una referencia para determinar la volatilidad implícita por el precio específico de las opciones.

Los efectos de Sonrisa ocurren cuando los precios de mercado no están de acuerdo con la suposición fundamental de la distribución de probabilidad. Si los participantes del mercado sienten que los riesgos de cola son más altos de lo que el modelo implica y lo incluyen en los precios de las opciones, entonces tu cálculo de VI te dará una VI excesiva en las opciones más alejadas de ATM. Esto te dará un efecto de Sonrisa. Si el riesgo se está fijando como más bajo en los precios de ejercicio más alejados, aparecerá como un ceño. Los efectos de la Skew pueden formarse de la misma manera.