Trabajando a través de las matemáticas que da la siguiente función de beneficio para un banco, pero parece que no puedo resolver esta condición de primer orden. La función de beneficio se define como sigue,
\begin{equation} \pi_t = p_{k,t-1} R^L_{k,t-1} L_{k,t-1} + (1-p_{k,t-1}) \frac{L_{k,t-1}}{\int_0^1 L_{k,t-1}dk} \tau \theta_{t-1} a_{t-1} - R^D_{t-1} L_{k,t-1} + \mu_t^B \bigg( \int_0^1 \bigg[\bigg(\frac{R_t^L + \eta \frac{1}{\theta_t}}{R^L_{k,t}+ \eta \frac{1}{\theta_{k,t}}} \bigg)^{\epsilon} x_t + \gamma^L s_{k,t-1} \bigg] dj - L_{k,t} \bigg) \end{equation}
y el FOC que obtienen por $L_{k,t}$ ,
\begin{equation} \partial L_{k,t}: p_{k,t} R^L_{k,t} + (1-p_{k,t}) \frac{\tau \theta_t a_t}{\int_0^1 L_{k,t} dk} - R^D_t - \mu_B =0 \end{equation}
No consigo dar sentido a esta diferenciación de la integral. Llevo todo el día mirando la regla integral de Leibniz. Mi entendimiento era que lo siguiente se mantiene cuando los límites de la integral son constantes,
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x} \bigg( \int_0^1 f(x) dx \bigg) = \frac{\partial}{\partial x} f(x) dx \Big|_0^1 \end{equation}
Usando esta regla no puedo obtener el resultado mostrado. ¿Estoy equivocado o este ejemplo es incorrecto?
Se agradece mucho.
