Técnicas de reducción de la desviación - técnica de las variantes de control

Question

En la técnica de control de la variante tenemos que calcular $$b=\frac{\text{cov}\{{X,Y}\}}{\text{var}\{{X}\}}$$ donde $X$ es un pago de la opción de compra estándar y $Y$ es un pago de, por ejemplo, la opción de barrera. Por qué tenemos que estimar $b$ antes de utilizar este método y no podemos utilizar los pagos que utilizamos durante la fijación de precios? O tal vez pueda calcular primero los pagos de estas opciones, luego, basándose en ellos, calcular el precio de la opción, y finalmente calcular $b$ utilizando los mismos pagos y cambiar el precio de la opción barrera en consecuencia?

EDITAR: Mi problema actual: Intento calcular el valor de la opción de compra Up and out utilizando la simulación MC. Utilizo tres métodos: 1) Monte Carlo estándar, 2) MC de variantes antíticas, 3) MC de variantes de control utilizando la opción de compra estándar. El precio correcto en el modelo BS es $1.3341$ . Mis tres métodos (con los mismos parámetros y número de simulaciones iguales $100000$ ) me da estos resultados:

1. MC: $1.3621$

2. Antithetic MC: $1.3763$

3. Variables de control MC: $1.3703$

¿Es normal que utilizando el MC estándar consiga el mejor precio?

Answer 1

Supongamos que se quiere fijar el precio de un derivado $X$ (por ejemplo, una opción de barrera). Usted simula $M$ rutas de muestreo y calcular $M$ potenciales de pago descontado, $f_X$ . La estimación estándar de Monte Carlo para el precio de $X$ es simplemente la media (aritmética), $$\text{Price}=\bar{f_X}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^Mf_X(i).$$

La idea de las variantes de control es que usted utilice su $M$ caminos para fijar el precio de otro derivado, $Y$ que es (muy) similar a $X$ . Por ejemplo, si se fija el precio de una opción de barrera, se puede utilizar una opción vainilla como variante de control. Es importante que para esta variante de control (la derivada $Y$ ), es necesario conocer una solución de forma cerrada, llamada $f_Y^*$ .

Ahora, tienes $M$ muestra de pagos para $X$ (indicada por $f_X$ ) y $M$ muestra de pagos para $Y$ (indicada por $f_Y$ ) así como la solución de forma cerrada para $Y$ (indicada por $f_Y^*$ ). Basándonos en sus resultados de muestra, vamos a calcular $$\hat\beta = \frac{\mathbb{C}\text{ov}(f_X,f_Y)}{\mathbb{V}\text{ar}[f_Y]}.$$ Esto parece un coeficiente de regresión (beta de mercado) o una cobertura de varianza mínima. La nueva estimación de la variante de control para el precio de su derivado es entonces $$\text{Price}=\bar{f_X}+\hat\beta(f_Y^*-\bar{f_Y}).$$ El término $f_Y^*-\bar{f_Y}$ es el sesgo de sus números aleatorios. Escalando la corrección del sesgo por $\hat\beta$ garantiza que la nueva varianza sea menor (o igual) que la varianza muestral de $f_X$ . La idea es que $\hat\beta$ surge como solución óptima (es decir, que minimiza la varianza) del problema $$\min_\beta\; \mathbb{V}\text{ar}[f_X+\beta(f_Y^*-f_Y)]=\mathbb{V}\text{ar}[f_X]+\beta^2\mathbb{V}\text{ar}[f_Y]-2\beta\mathbb{C}\text{ov}(f_X,f_Y).$$

Evidentemente, cuanto más $f_X$ y $f_Y$ correlacionar, mejor será el método. Imagínese que cotiza una opción de venta a la baja. Este pago se correlaciona negativamente con el pago de una opción de venta vainilla. Sin incluir $\hat\beta$ podría empeorar su estimación de precios.

Comprueba Boyle, Broadie y Glasserman (1997) para más detalles. Por ejemplo, se pueden utilizar varios instrumentos simultáneamente como variantes de control y el $\hat\beta$ Los coeficientes serán, por supuesto, similares a los de de una regresión lineal múltiple.