Cálculo de la permanencia esperada de un cliente

Question

En su Cómo proyectar la retención de clientes Fader calcula la permanencia esperada de un cliente según $$E = \sum_{t=0}^{\infty}S(t)$$ donde $S(t)$ es el Función de supervivencia .

Desde un punto de vista puramente matemático, la expectativa se calcula mediante $$E[X] = \sum_{x \in X} xP(X=x).$$ Por lo tanto, esperaría que la fórmula de tenencia esperada fuera $$E = \sum_{t=0}^{\infty}tS(t).$$

¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Voy a utilizar un $t$ -continuos, y entonces la discretización se produce de forma natural.

Llame a $f(t)$ la función de distribución de la variable $t$ . La función de supervivencia es simplemente

$$ S(t) = \int_t^{+\infty}f(u)~{\rm d}u \tag{1} = 1 - \int_0^t f(u)~{\rm d}u $$

Aquí queda bastante claro que

$$ \frac{{\rm d}S}{{\rm d}t} = -f(t) \tag{2} $$

y que $\lim_{t\to\infty}S(t) = 0$ . Consideremos ahora la integral

\begin{eqnarray} \require{cancel} \mathbb{E}[t] &=& \int_0^{+\infty} t f(t) ~{\rm dt} \stackrel{(2)}{=} -\int_0^{+\infty} t \frac{{\rm d}S}{{\rm d}t}~{\rm d}t \\ &=& -\int_0^{+\infty} \left[\frac{{\rm d}(t S)}{{\rm d}t} - \cancelto{1}{\frac{{\rm d}t}{{\rm d}t}} S\right] {\rm d}t \\ &=& -\cancelto{0}{\strut{t S}\big\rvert_{0}^{+\infty}} + \int_0^{+\infty}S(t)~{\rm d}t \end{eqnarray}

Así que en resumen

$$ \mathbb{E}[t] = \int_0^{+\infty}S(t)~{\rm d}t \tag{3} $$

Ahora se puede pasar al tiempo discreto y representar esto en la forma

$$ \mathbb{E}[t] = \sum_{t = 0}^{+\infty} S(t) \delta $$

para algún número pequeño $\delta$ . En el documento que citas, eligen $\delta = 1$