Plim del estimador ols

Question

Supongamos que le dan dos modelos.

El modelo de 1 tiene $y$ como variable dependiente y $x$ como independiente:

$$y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$$

El modelo 2 tiene $w$ como variable dependiente y $x$ como variable independiente

$$w = \lambda_0 + \lambda_1 x + u,$$

de manera que ambos modelos tengan su propio término de perturbación.

Entonces se le da un modelo ajustado en el que $y$ depende de $w$ .

$$y = \phi_0 + b w + e$$

Ahora la cuestión es encontrar plim de $\hat{b}$ .

Intenté hacer $x$ el sujeto del modelo 1, enchufó el $x$ en el modelo 2 y, a continuación, se ha introducido $w$ (modelo 2) en el ajuste. Ahora, cuando tomé $Cov(xy)$ después de toda esta sustitución mi modelo ajustado $y$ no tiene y $x$ . No puedo seguir resolviendo para $plim$ .

Answer 1

Esto es lo que creo que debería ser la respuesta basada en la descripción de su problema. Por lo demás, espero que esto siga siendo útil para que puedas resolver el problema.

Comienzo considerando las ecuaciones del modelo

$$(1) \ \ \ y = \beta_0 + \beta_1 x + e_y $$

$$(2) \ \ \ w = \lambda_0 + \lambda_1 x + e_w, $$

y luego manipulo la ecuación (1) para obtener

$$(1b) \ \ \ y = \beta_0 + \frac{\beta_1}{\lambda_1} ( \lambda_1 x) + e_y, $$

a partir de la ecuación (2) encuentro entonces

$$(2b) \ \ \ w -\lambda_0 - e_w= \lambda_1 x,$$

que inserto en (1b) para obtener

$$y = \beta_0 - \frac{\beta_1}{\lambda_1}\lambda_0 + \frac{\beta_1}{\lambda_1} w - \frac{\beta_1}{\lambda_1} e_w+ e_y,$$

A continuación, defino $b_0 :=\beta_0 - \frac{\beta_1}{\lambda_1}\lambda_0$ y $b_1:=\frac{\beta_1}{\lambda_1}$ y $u := - \frac{\beta_1}{\lambda_1} e_w+ e_y$ para obtener el modelo de estimación

$$y = b_0 + b_1 w + u$$

donde conozco el límite de probabilidad de $\hat b_1$ es

$$var(w)^{-1}cov(wy) = b_1 + var(w)^{-1}cov(wu),$$

donde observo que $cov(wu) = cov(w,-(\beta_1/\lambda_1) e_w+ e_y) = -\frac{\beta_1}{\lambda_1} var(e_w)$ .

Supongo que $cov(x,e_w) = cov(x,e_y) = cov(e_w,e_y) = 0$ .

Aquí hay un pequeño código de prueba en R

N <- 1000
beta <- 1
lambda <- 2
x <- rnorm(N)
e_y <- rnorm(N)
e_w <- rnorm(N)
y <- 1 + beta*x + e_y
w <- 1 + lambda*x + e_w

model <- lm(y~w)

W <- cbind(rep(1,N),w)
bias <- -(beta/lambda)*solve(t(W)%*%W)%*%t(W)%*%e_w 
coef(model)[1] - bias[1,1]
1 - (beta/lambda)*1
coef(model)[2] - bias[2,1]
beta/lambda

Answer 2

Si su pregunta es cómo expresar el plim ( $b$ , digamos) del estimador de la pendiente de la regresión de $y$ en $w$ en términos de los plim's ( $a$ y $c$ digamos) de los dos estimadores de la pendiente para sus dos modelos (uno $y$ en $x$ y el otro $w$ en $x$ ), mi respuesta es que no es posible. No nos ha dado suficiente información.

Si $y$ , $x$ y $w$ tienen varianza unitaria (para simplificar), lo que se quiere es $b=cor(y,w)$ expresado en términos de $a=cor(y,x)$ y $c=cor(w,x)$ . Pero eso no es posible. No puedes encontrar $b$ de $a$ y $c$ . $Cor(y,w)$ no es una función de $cor(y,x)$ y $cor(w,x)$ . Es como si no pudiéramos encontrar la distribución conjunta de $(A,B)$ a partir de las distribuciones marginales individuales de $A$ y $B$ .

Aquí hay dos ejemplos, con el mismo $a$ y $c$ pero diferente $b$ . (i) $x$ y $y$ son mutuamente independientes ( $a=0$ ), $x$ y $w$ son mutuamente independientes ( $c=0$ ), y $y$ y $w$ son mutuamente independientes ( $b=0$ ). (ii) $x$ y $y$ son mutuamente independientes ( $a=0$ ), $x$ y $w$ son mutuamente independientes ( $c=0$ ), y $y=w$ ( $b=1$ ). No puede encontrar $b$ de $a$ y $c$ .