Encontrar la utilidad individual

Question

Hay N agentes que viven en una economía con dos bienes, $X$ y $Y$ . Sus preferencias se describen mediante la siguiente función de utilidad $u(X,Y) = 2 \sqrt{XY}$ . Cada agente está dotado de 1 unidad de $X$ y $y_{i}$ unidades de $Y$ . Cada unidad de $Y$ se vende por $p$ unidades de $X$ .

La cuestión es demostrar que cada agente obtiene una utilidad de $\frac{1 + py_{i}}{\sqrt p}$ .

Esto es lo que he probado:

El agente elige $X,Y$ con el fin de maximizar $2\sqrt{XY}$ con sujeción a $X + pY = 1 + p y_{i}$ Así que he expresado la restricción de recursos en unidades de bien $X$ . El LHS es lo que el agente puede comprar y el RHS es la dotación, también expresada en unidades de $X$ .

A continuación, reordeno la restricción en términos de $Y$ es decir $Y = \frac{1}{p} + y_{i} - \frac{X}{p}$ y lo sustituimos en la función de utilidad, con la FOC respecto a $X$ y luego sustituir el valor óptimo de $X$ en la función de utilidad para obtener una expresión en términos de $y_{i}$ . Sin embargo, la expresión no es la que se supone que debo obtener.

Si alguien quiere comprobar mi álgebra, aquí está:

La función de utilidad se convierte en $2\sqrt {(X/p) + Xy_{i} - X^2/p}$ Diferenciando esto con $X$ Me parece que $X^* = (1/2)(1 + y_{i}p)$ . Lo sustituyo en la función de utilidad, $2\sqrt{X^*y_{i}}$ pero esto no equivale a $\frac{1 + py_{i}}{\sqrt p}$ .

¿Alguna idea de dónde me estoy equivocando?

Answer 1

Su error probablemente se produjo en la etapa de sustitución final. La utilidad óptima debería ser $2\sqrt{x^*y^*}$ que no es lo mismo que $2\sqrt{x^*y_i}$ .

En general, la maximización de una función de utilidad Cobb-Douglas de dos bienes $u(x,y)=Ax^\alpha y^\beta$ con una restricción presupuestaria $p_xx+p_yy=m$ tiene solución general \begin{equation} x^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_1} \quad\text{and}\quad y^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_2}. \end{equation}

En su caso, los parámetros $A,\alpha,\beta,p_x,p_y,m$ toman los siguientes valores: \begin{equation} A=2,\quad\alpha=\beta=\frac12,\quad p_x=1,\quad p_y=p,\quad m=1+py_i. \end{equation} Introduciendo los valores, se obtiene el consumo óptimo: \begin{equation} x^*=\frac{1+py_i}{2},\quad y^*=\frac{1+py_i}{2p}. \end{equation} Por lo tanto, la utilidad óptima es \begin{equation} u(x^*,y^*)=2\sqrt{\frac{1+py_i}{2}\cdot \frac{1+py_i}{2p}}=\frac{1+py_i}{\sqrt p} \end{equation}