Equilibrio de Nash para el modelo de Bertrand con diferenciación espacial

Question

Consideremos una ciudad con consumidores representada por un intervalo cerrado $[0,2]$ con los consumidores repartidos de forma continua y uniforme. Hay dos tiendas, $A$ y $B$ que venden el mismo producto a $p_A$ y $p_B$ sin coste alguno.

Un consumidor tiene una utilidad bruta de 4 por tener el producto, a la que se le resta el precio pagado y los costes de desplazamiento, que se determinan como distancia recorrida. Cada consumidor sólo compra 1 unidad del producto, y si el consumidor no compra en ninguna de las dos tiendas, tiene una utilidad de 0. Por ejemplo, si un consumidor se encuentra en $x=1.5$ y compra en la tienda B a $p_B=1$ que se encuentra en $x_B=2$ entonces su utilidad es $4-1-|2-1.5| = 2.5$ .

Supongamos que $A$ se encuentra en $x_A=0$ y $B$ se encuentra en $x_B=2$ . Además, supongamos que las tiendas cobran mucho en $p \le 4$ .

Supongamos que las tiendas son maximizadoras de beneficios. ¿Cuáles son los precios, las cantidades y los beneficios de equilibrio para ambas tiendas?

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Mis ideas iniciales son que, en este escenario, las funciones de beneficio para cada tienda se denotan como:

$$\pi_A=p_A+p_A(\frac{p_B-p_A}{2})$$

$$\pi_B=p_B-p_B(\frac{p_B-p_A}{2})$$

Podemos tomar la condición de primer orden para cada uno, para obtener el beneficio máximo.

$$\frac{\partial \pi_A}{p_A} = 1 + \frac{p_B}{2} - p_A = 0 \implies p_A = \frac{p_B}{2} + 1$$

$$\frac{\partial \pi_B}{p_B} = 1 - p_B + \frac{p_A}{2} = 0 \implies p_B = 1 + \frac{p_A}{2}$$

Sustituyendo una en la otra, tenemos que $p_A=p_B=2$ , $q_A=q_B=1$ y $\pi_A=\pi_B=2$ .

No estoy muy seguro de esta solución ni de la dirección que tomé para resolverla. Cualquier consejo aquí sería apreciado en qué otra dirección debo intentar.

Answer 1

Esta es una versión de El modelo de diferenciación espacial de Hotelling

La solución más sencilla es encontrar una "X" entre [0,2] de manera que el cliente sea indiferente entre ir a la empresa A o a la empresa B.

Esto ocurrirá cuando $P(A) + Distance(X-A) - Utility = P(B) + Distance(B-X) - Utility$

Entonces la demanda [0, X] iría a A, y la demanda [X, 2] iría a B. Entonces, utilizando las Funciones de Mejor Respuesta para este juego Simultáneo podemos calcular los precios, la cantidad y los beneficios.

He adjuntado mi solución a continuación. Para más información, puede ver - EJEMPLO DE PLAYA DE SNYDER NICHOLSON HOTELLING