Consideremos una ciudad con consumidores representada por un intervalo cerrado $[0,2]$ con los consumidores repartidos de forma continua y uniforme. Hay dos tiendas, $A$ y $B$ que venden el mismo producto a $p_A$ y $p_B$ sin coste alguno.
Un consumidor tiene una utilidad bruta de 4 por tener el producto, a la que se le resta el precio pagado y los costes de desplazamiento, que se determinan como distancia recorrida. Cada consumidor sólo compra 1 unidad del producto, y si el consumidor no compra en ninguna de las dos tiendas, tiene una utilidad de 0. Por ejemplo, si un consumidor se encuentra en $x=1.5$ y compra en la tienda B a $p_B=1$ que se encuentra en $x_B=2$ entonces su utilidad es $4-1-|2-1.5| = 2.5$ .
Supongamos que $A$ se encuentra en $x_A=0$ y $B$ se encuentra en $x_B=2$ . Además, supongamos que las tiendas cobran mucho en $p \le 4$ .
Supongamos que las tiendas son maximizadoras de beneficios. ¿Cuáles son los precios, las cantidades y los beneficios de equilibrio para ambas tiendas?
Mis ideas iniciales son que, en este escenario, las funciones de beneficio para cada tienda se denotan como:
$$ \pi_A=p_A+p_A(\frac{p_B-p_A}{2}) $$
$$ \pi_B=p_B-p_B(\frac{p_B-p_A}{2}) $$
Podemos tomar la condición de primer orden para cada uno, para obtener el beneficio máximo.
$$ \frac{\partial \pi_A}{p_A} = 1 + \frac{p_B}{2} - p_A = 0 \implies p_A = \frac{p_B}{2} + 1 $$
$$ \frac{\partial \pi_B}{p_B} = 1 - p_B + \frac{p_A}{2} = 0 \implies p_B = 1 + \frac{p_A}{2} $$
Sustituyendo una en la otra, tenemos que $p_A=p_B=2$ , $q_A=q_B=1$ y $\pi_A=\pi_B=2$ .
No estoy muy seguro de esta solución ni de la dirección que tomé para resolverla. Cualquier consejo aquí sería apreciado en qué otra dirección debo intentar.
