Solución numérica de una EDP tridimensional de BS hacia atrás

Question

Tengo una EDP tridimensional hacia atrás.

$$ \frac{\partial V}{\partial t} + a(t) S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma(t, S)^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + b(t, M) \frac{\partial V}{\partial M} + c \frac{\partial V}{\partial \phi} - rV = 0$$

con la condición terminal $V(T, S, M, \phi) = g(S, M, \phi)$

Si intento aplicar un método Crack Nicholson

$$2 \frac{df}{dx} = \frac{f(t+1, x_{i+1}) - f(t+1, x_i)}{\delta x} + \frac{f(t, x_{i+1}) - f(t, x_{i})}{\delta x}$$

a $S$ , $M$ y $\phi$ la ecuación se vuelve demasiado complicada de resolver.

Entonces, ¿debo aplicar esto sólo al $S$ y aproximar las derivadas para $M$ y $\phi$ ¿sólo con los valores temporales hacia atrás? ¿Cómo lo enfocaría?

Answer 1

Tal vez quieras echar un vistazo a Alternating Direction Implicit para resolver EDP multidimensionales con el método de las diferencias finitas. El sistema lineal seguirá siendo una matriz tridiagonal.