Descomposición de la varianza de la ecuación salarial

Question

Estoy leyendo dos artículos recientes que estudian la desigualdad salarial entre empresas y dentro de ellas, Barth et al 2016 (en adelante BBDF) y Song et al 2019 (en adelante SPGBV). Me confunden los diferentes métodos de descomposición de la varianza utilizados en estos dos documentos.

Estos dos documentos producen primero una descomposición simple de la varianza de los salarios logarítmicos.

BBDF: $$V(\ln w)=V(s)+V(\varphi)+2 \operatorname{Cov}(s, \varphi)+V(u)$$

SPGBV: $$\operatorname{var}\left(y_{t}^{i, j}\right)=\operatorname{var}\left(\theta^{i}\right)+\operatorname{var}\left(\psi^{j}\right)+2 \operatorname{cov}\left(\theta^{i}, \psi^{j}\right)+\operatorname{var}\left(\epsilon_{t}^{i, j}\right)$$

Donde el $s$ o $\theta$ es efectos de persona, el $\varphi$ o $\psi$ son los efectos de la empresa, y $u$ o $\epsilon$ es el error de coincidencia.

Sin embargo, ambos reescriben esta descomposición simple a una más complicada que distingue el componente entre empresas y el componente dentro de la empresa, de alguna manera diferente.

BBDF: $$V(\ln w) = \underbrace{V(s)(1-\rho)+V(u)}_{\text {Within-firm component }} + \underbrace{V(s)\left(\rho+2 \rho_{\varphi}\right)+V(\varphi)}_{\text {Between-firm component }}$$ , donde $\rho=\operatorname{Cov}(s, S) / V(s)$ , $\rho_{\varphi}=\operatorname{Cov}(s, \varphi) / V(s)$ y $S$ se define como el nivel medio del establecimiento del salario previsto de $(s)$ .

SPGBV: $$\begin{aligned} \operatorname{var}\left(y_{t}^{i, j}\right)= \underbrace{\operatorname{var}\left(\theta^{i}-\bar{\theta}^{j}\right)+\operatorname{var}\left(\epsilon_{t}^{i, j}\right)}_{\text {Within-firm component }} +\underbrace{\operatorname{var}\left(\psi^{j}\right)+2 \operatorname{cov}\left(\bar{\theta}^{j}, \psi^{j}\right)+\operatorname{var}\left(\bar{\theta}^{j}\right)}_{\text {Between-firm component }}, \end{aligned}$$

¿Son estas dos descomposiciones la misma cosa pero escritas de forma diferente? Intento algunos cálculos pero no consigo demostrar que son lo mismo. Por otra parte, mientras que es muy claro cómo BBDF obtener su segunda descomposición (sumar y restar una $\operatorname{Cov}(s, S)$ de la primera descomposición), no me queda claro de dónde sale la segunda fórmula del SPGBV. Sin embargo, desde el punto de vista de la interpretación, el SPGBV parece ser una forma más intuitiva de explicar los componentes internos y los intermedios que la del BBDF. También me pregunto cuál es el principio detrás de una descomposición que separa los efectos entre y dentro de la empresa.

Answer 1

No estoy en casa en la literatura, así que no puedo decir si las dos descomposiciones son los mismos. Sólo puedo ayudarte con las derivaciones.

Para la expresión BBDF, basta con obtener la primera a partir de la segunda sustituyendo $\rho$ y $\rho_\varphi$ .

Para la expresión SPGBV las cosas son un poco más complicadas. Dejemos que $i$ representan la unidad y $g$ la variable de grupo (que es $j$ en su ecuación).

Supongo que $$ \bar \theta^g = \dfrac{1}{n_g} \sum_{i \in g} \theta^i $$ donde $n_g$ es el número de elementos del grupo $g$ . Que haya $N ( = \sum_g n_g)$ observaciones en total. Sea $p_g = \dfrac{n_g}{n}$ sea la probabilidad de $\bar \theta^g$ (Tomo que $\dfrac{1}{N}$ es la probabilidad de que la unidad $\theta^i$ ).

Primero mira la expresión $var(\theta^i - \bar \theta^g)$ . Podemos descomponerlo de la siguiente manera: $$ var(\theta^i- \bar \theta^g) = var(\theta^i) + var(\bar \theta^g) - 2 cov(\theta^i, \bar \theta^g). $$ Ahora, podemos expandir el término de covarianza: $$ \begin{align*} cov(\theta^i, \bar \theta^g) &= \frac{1}{N}\sum_{g}\sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta)(\bar \theta^g - \bar \theta),\\ &= \frac{1}{N} \sum_g (\bar \theta^g - \bar \theta) \sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta),\\ &= \frac{1}{N} \sum_g n_g (\bar \theta^g - \bar \theta)(\bar \theta^g - \bar \theta),\\ &= \sum_g p_g(\bar \theta^g - \bar \theta)^2,\\ &= var(\bar \theta^g). \end{align*} $$ Esto da: $$ var(\theta^i - \bar \theta^g) = var(\theta^i) - var(\bar \theta^g) $$ La reescritura da: $$ var(\theta^i) = var(\theta^i - \bar \theta^g) + var(\bar \theta^g). \tag{1} $$ A continuación, veamos el término de covarianza $cov(\theta^i, \psi^g)$ . $$ \begin{align*} cov(\theta^i, \psi^g) &= \frac{1}{N} \sum_g \sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta)(\psi^g - \bar \psi),\\ &= \frac{1}{N} \sum_g (\psi^g - \bar \psi) \left( \sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta)\right),\\ &= \frac{1}{N} \sum_g (\psi^g - \bar \psi) n_g(\bar \theta^g - \bar \theta),\\ &= \sum_g \frac{n_g}{N} (\bar \theta^g - \bar \theta) (\psi^g - \bar \psi),\\ &= \sum_g p_g (\bar \theta^g - \bar \theta)(\psi^g - \bar \psi),\\ &= cov(\bar \theta^g, \psi^g) \end{align*} $$ Así que: $$ cov(\theta^i, \psi^g) = cov(\bar \theta^g, \psi^g). \tag{2} $$ Sustituyendo a $(1)$ y $(2)$ en la primera condición de SPGBV debería darte la segunda.