Cochrane "Asset Pricing" Capítulo 1 p. 6 dice
Modelamos a los inversores mediante una función de utilidad definida sobre los valores actuales y futuros del consumo, $$ U(c_t,c_{t+1}) = u(c_t) + \beta \mathbb{E_t}[u(c_{t+1})] $$ donde $c_t$ denota el consumo en la fecha $t$.
Más tarde, esta utilidad se maximiza sujeta a una especie de restricción presupuestaria
$$ \max_{\xi}\ u(c_t) + \mathbb{E}_t[\beta u(c_{t+1})]$$ donde \begin{aligned} c_t &= e_t - p_t \xi, \\ c_{t+1} &= e_{t+1} + x_{t+1}\xi. \end{aligned}
Estoy acostumbrado a maximizar la utilidad esperada en lugar de la utilidad bruta. Además, la expresión del lado derecho de $U(c_t,c_{t+1})$ se ve igual a la utilidad esperada donde la expectativa es condicional a la información disponible en el momento $t$: $$ u(c_t) + \beta \mathbb{E_t}[u(c_{t+1})] = \mathbb{E_t}[( u(c_t) + \beta u(c_{t+1})]. $$ Pregunta: ¿Por qué Cochrane no llama a $U(c_t,c_{t+1})$ utilidad esperada entonces?
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Esto parece ser más una pregunta sobre el Sr. Cochrane y sus elecciones estilísticas que sobre economía. Pero el lado derecho es claramente utilidad esperada, y el lado izquierdo no tiene mucho sentido, pero de todos modos no se utiliza.
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Probablemente descubriré la respuesta en algún lugar más adelante en el libro, pero encontré la discrepancia entre el lenguaje/texto y las fórmulas bastante llamativa.
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La teoría aquí utiliza utilidad esperada. No todos los autores son igualmente cuidadosos cuando se trata de detalles formales.
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Estoy de acuerdo en que esto se refiere a la elección estilística, pero también creo que el comentario anterior es un poco demasiado duro al decir que no tiene sentido. Es como decir que usar sing $2 \cdot 5$ y llamarlo un producto de enteros es más/menos correcto que usar 10 y llamarlo entero. Para ser claro, la mayor parte de la literatura usaría el RHS y lo escribiría como $E_t[U]$ en lugar de LHS $U(u_t,E_t(u_{t+1}))$, pero debido a que las expectativas se aplican solo al argumento, podría llamarse simplemente utilidad con $u_{t+1}$ siendo la utilidad esperada incluso cuando es completamente equivalente a tener la utilidad esperada de toda la función.
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@1muflon1, es extraño y creo que incorrecto decir que la utilidad de alguien es una función del consumo hoy y consumo esperado mañana. Las personas no obtienen utilidad de los valores esperados de consumo, solo del consumo real. En ese sentido, creo que es justificable hacer un comentario duro.
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@RichardHardy pero ten en cuenta que eso no es lo que está afirmando Cochrane allí. Él afirma que la utilidad total $U$ es la suma de la utilidad presente del consumo $u_t(c_t)$ y la utilidad esperada del consumo futuro $E_t(u_{t+1}(c_{t+1}))$. ¿Es no estándar? ¡Sí! ¿Ofende mi sentido estético? Un poco. ¿Es incorrecto? No creo que sea incorrecto tener una función de utilidad compuesta que sea la suma de la utilidad presente que se conoce y la utilidad esperada del consumo futuro. Lo considero menos elegante que simplemente tener $E[U]$, pero no iría tan lejos como para decir que es un sinsentido.
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@1muflon1, Debo estar de acuerdo. ¡Gracias por tu comentario reflexivo! Creo que podrías publicarlo como una respuesta.
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@1muflon1 La forma normal de leer $U(c_t, c_{t+1})$ es que $U$ es una función de dos números, $c_t$ y $c_{t+1}$. De hecho, Cochrane escribe que la utilidad está "definida sobre los valores actuales y futuros del consumo". Pero $U$ no depende solo de los valores actuales y futuros del consumo, depende del valor actual y de la expectativa condicional sobre todos los posibles valores futuros. No vas a leer eso en un papel de matemáticas.
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@MichaelGreinecker pero en este caso $U$ es claramente una función compuesta, así que aquí creo que Cochrane es un poco descuidado ya que claramente la función es en realidad una compuesta $U(u_t(c_t),E[u_{t+1}(c_{t+1})] )$
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@1muflon1 Es más complicado que eso. La expectativa es la expectativa condicional dada $t$, que no puede ser elegida independientemente de $c_t$. Y la aclaración de Cochrane "donde $c_t$ denota el consumo en la fecha $t$." ciertamente sugiere que $c_{t+1}$ denota el consumo en $t+1.$ En la siguiente página, incluso escribe "El consumo $c_{t+1}$ también es aleatorio." lo que aclara que habla sobre el valor. Realmente no veo qué es controvertido acerca de mi afirmación de que no tiene sentido.