2 empresas decisión de producción para un agente

Question

Estoy tratando de resolver la producción óptima $\{x,y\}$ para un agente neutral al riesgo con peso $w$ en la empresa $X$ y el peso $1-w$ en la empresa $Y$ . Cada empresa tiene un coste marginal $c^X$ y $c^Y$ respectivamente. Las empresas se enfrentan a una demanda lineal en la que $P(Q)=a-b Q$ y la producción total de la economía $Q=x+y$ . Este agente neutral al riesgo maximiza los beneficios por lo que su utilidad será:

$U(x,y)=w(x(a-b(x+y)-c^X))+(1-w)(y(a-b(x+y)-c^Y))$

Si tomo condiciones de primer orden para maximizar esta utilidad obtengo

$(a-2b x-c^X)w-by=0$

$(a-2b y-c^Y)(1-w)-bx=0$

Lo que resuelve a:

$x=\frac{(1-w)(2 c^X w-c^Y+a(1-2 w))}{b(1-2w)^2}$

$y=\frac{w(2 c^Y(1- w)-c^X-a(1-2 w))}{b(1-2w)^2}$

Asumiendo que todo esto es correcto, no entiendo por qué cuando $w=0$ entonces $y=0$ !!! y $x=\frac{a-c^Y}{b}$ maximizar la utilidad $U(x,y)=0$ .

Creo que esto no tiene sentido y no puede ser lo óptimo porque teniendo $x=0$ y $y=\frac{a-c^Y}{2b}$ (producción monopólica) daría $U(x,y)=\frac{(a-c)^2 }{2b}>0$

Debo tener algo mal, las derivadas y las soluciones son correctas, ¿alguien ve lo que me falta aquí?

Answer 1

Parece que está asumiendo que habrá una solución interior. $$ (a-2b x-c^X)w-by = 0 $$ sólo tiene que mantenerse si el valor de $x$ es positivo. Si no lo es, pero $x = 0$ la menor cantidad posible, entonces $$ (a-2b x-c^X)w-by < 0 $$ no es una contradicción. Además, la disminución $x$ aumentaría la utilidad, pero no es posible. Por lo tanto, en el caso de que $w = 0$ y $$ (a-2b x-c^X)w-by = -by $$ no necesariamente tiene $y = 0$ .

Answer 2

Es similar al argumento de la solución de esquina de denesp:

Cuando resolvemos Max U(x,y) cuando w = 0, estamos seleccionando x e y tales que U se maximiza. Pero, w = 0, implica que U es decreciente en x. Por lo tanto, elegiremos el menor valor posible de x. Para cualquier valor de y que podamos seleccionar, un valor distinto de cero de x disminuirá la utilidad.