La solución del modelo contiene constantes: $k = \alpha K$ se relaciona con: (i) la probabilidad de obtener un relleno ( $\alpha$ ) y (ii) el impacto en el mercado ( $K$ ).
Estimación (i) . El autor propone que el tamaño de las órdenes de mercado sigue una distribución de ley de potencia:
$$f(x)^Q \propto x^{-1-\alpha}$$
Así que no hay problema en estimar esto.
Estimación (ii) . Aquí hay dos ecuaciones de interés:
$$\Delta p \propto \ln Q \tag{11}$$
$$\begin{align} \lambda (\delta) &= \Lambda \mathbb{P} [\Delta p > \delta] \\ &= \Lambda \mathbb{P}[\ln Q > K \delta] \\ &= \Lambda \mathbb{P} [Q > \exp \left( K \delta \right)] \\ &= \Lambda \int_{\exp (K \delta)}^{\infty} x^{-1-\alpha} dx \\ &= A \exp \left( -k \delta \right) \end{align} \tag{12}$$
De acuerdo con los dos anteriores:
La línea 1 de (12) dice $\Delta p > \delta$ pero sabemos que $\Delta p = c \ln Q$ Por lo tanto, podemos volver a escribir:
$$\begin{align} \mathbb{P} [\Delta p > \delta] &= \mathbb{P} [c \ln Q > \delta] \\ &= \mathbb{P} [\ln Q > \frac{1}{c} \delta] \end{align}$$
Por lo tanto, $K = \frac{1}{c}$ la inversa de la constante de proporcionalidad que encontramos en relación $\Delta p \propto \ln Q$ .
¿Es esto correcto? (La estimación de $K$ ).
Nota: Conozco el documento de Sophie Laruelle. Pero, por desgracia, no sé francés.
Super Note: Mi comprensión de este respuesta relacionada con el papel de Sophie:
Definiciones :
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$t_0$ - tiempo de inicio (es el punto de inicio en las franjas de tiempo de llegada en un proceso de Poisson). Sencillamente, si te golpean, ese es un nuevo tiempo: $t_1$ que se convierte en su nueva hora de inicio.
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$\delta P$ - distancia de su pedido del precio medio. Si el precio medio es \$100, and your bid is at \$ 85, entonces esta cantidad es \$15. Lo mismo para las preguntas, obviamente.
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$P^m (t) $ - es su precio medio en el momento $t$ .
Procedimiento:
- Registra la hora de inicio: $t_0$ y el correspondiente precio medio: $P^m(t_0)$ en este momento.
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Registrar la hora $t_1$ cuando se alcanza la oferta/demanda y el $\delta P$ s. La razón por la que he añadido la terminación en plural "s" es porque se puede dar en varios niveles. Aquí se pide un ejemplo. Este es su libro de órdenes (OB):
|--- qty ---| --- size --- | asks $105 10 $104 5 bids $100 6 $99 5
Imagina que entra una orden de mercado que se come 8 unidades del tamaño de la oferta (por lo que era una venta de mercado). Usted registra el cambio de precio, $\delta P = \$ 102 - \$100 = \$ 2$ en el primer nivel y el tiempo correspondiente de este comercio, $t_1$ . También graba $\delta P = \$ 102 - \$99 = \$ 3$ al mismo tiempo, $t_1$ (en este caso). Si hubiera una orden de mercado que sólo tomara parte del mejor precio de compra/venta, o el mejor precio de compra/venta completo y no fuera más profundo, sólo recogeríamos una única $\delta P$ con su correspondiente $t$ . Tenga en cuenta que puede definir el punto en el que la orden es golpeada de manera diferente, esto depende de usted. - Ahora tiene longitudes de tiempo y tamaños correspondientes. Tiempos entre llegadas en un proceso de Poisson son exponenciales:
$$\mathbb{P}[X_1 > t] = \mathbb{P}\left[ \texttt{no arrival in time (0, t]} \right]= e^{-\lambda t} $$
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Así que ahora para cada cubo de los cambios de precios como: $[\$ 1, \$1.5]$ es decir, todos los $\delta P$ que están entre 1 y 1,5 dólares, tienes una lista de tiempos de llegada: $[0.3, 0.2, 0.5, 0.7, 1.1]$ en segundos. Ajuste la distribución exponencial anterior a cada cubo de datos para obtener alguna estimación empírica de $\lambda$ .
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Ahora tienes la figura 1 del trabajo de Sophie. Bien hecho.
Problemas por delante:
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¿Y ahora qué? Así que la pregunta es, si se ajusta la regresión a esto, ¿cuál es su $k$ ¿Cuál es su $A$ ?
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No es tan importante . ¿A qué se refiere esta ecuación, qué es $P_1$ ¿Qué es? $P_2$ ¿Qué es? $P$ :
$$k = \mathbb{E}_{P1,P2}\left(\frac{\log\lambda(\Delta P1) - \log(\lambda(\Delta P2)}{\Delta P1 - \Delta P2}\right),\quad A=\mathbb{E}_{P}(\lambda(\Delta P) \exp k \Delta P)$$
